吉林省长春市第三十八中学高二数学理下学期期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知正四棱柱的体对角线的长为，且体对角线与底面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于参考答案：8略2. 在中,则( )A、 B、 C、 D、参考答案：C略3. ABC中，若，则等于 （ ）A .2 B . C . D. 参考答案：A4. 能使=成立的整数应是（ ） A4 B5 C7 D9参考答案：C略5. 海中一小岛，周围a n mile内有暗礁 海轮由西向东航行，望见这岛在北偏东 航 行b n mile以后，望见这岛在北偏东这艘海轮不改变航向继续前进，没有触礁那 么a、b所满足的不等关系是 A B C D参考答案：A6. 为了得到函数的图象，需要把函数图象上的所有点（ ）A. 向右平移个单位长度B. 向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向左平移个单位长度参考答案：C【分析】直接根据三角函数图象的平移变换法则求解即可.【详解】因为函数图象上的所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象，所以为了得到函数的图象，需要把函数图象上的所有点向右平移个单位长度，故选C.【点睛】本题考查了三角函数的图象，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.7. 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D.参考答案：B8. 已知两个非空集合A、B满足，则符合条件的有序集合对个数是() A6 B8 C25 D27参考答案：C略9. 已知函数f(x)x3px2qx的图象与x轴相切于点(1,0)，则f(x)的极值情况为() A极大值，极小值0 B极大值0，极小值C极大值0，极小值 D极大值，极小值0参考答案：A略10. 若函数 A B C D参考答案：B略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设函数f（x）=，g（x）=ax2+bx，若y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且仅有两个不同的公共点，则当b（0，1）时，实数a的取值范围为参考答案：考点： 根的存在性及根的个数判断专题： 函数的性质及应用分析： 画出函数的图象，利用函数的图象的对称性，结合对字母a进行分类讨论，不难推出结论解答： 解：当a0时，作出两个函数的图象，如图，则当b（0，1）时，函数f（x）=，g（x）=ax2+bx，若y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且仅有两个不同的公共点，故考虑当b=1时，两个函数图象有且仅有两个不同的公共点，如图由方程=ax2+x，得ax3=1x2，两边求导，得3ax2=2x，a=，x3=1x2，解得x=，a=，结合图象可知，当a0时，当b（0，1）时，实数a的取值范围为；同理，当a0时，实数a的取值范围为；当b（0，1）时，实数a的取值范围为；又当a=0时，函数f（x）=，g（x）=bx，的图象有且仅有两个不同的公共点故答案为：点评： 本题考查的是函数图象，直接利用图象判断，利用了构造函数的方法，利用函数与导数知识求解要求具有转化、分析解决问题，由一般到特殊的能力题目立意较高，很好的考查能力12. 一同学在电脑中打出如下图形（表示空心圆，表示实心圆）.若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前2019个圆中有_个实心圆.参考答案：62【分析】依次解出空心圆个数，时对应圆的总个数再根据规律求结果【详解】解：时，圆的总个数是2； 时，圆的总个数是5，即； 时，圆的总个数是9，即； 时，圆的总个数是14，即； ； 时，圆的总个数是 ， ， 在前2019个圆中，共有62个实心圆 故答案为：62【点睛】本题主要考查归纳推理，解答关键是从圆的个数的变化规律中寻求规律，后建立数列模型解决问题13. 若复数，则复数z在复平面内的对应点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限参考答案：B【分析】把复数为标准形式，写出对应点的坐标【详解】，对应点，在第二象限故选B【点睛】本题考查复数的几何意义，属于基础题14. 已知直线交抛物线于A、B两点，若该抛物线上存在点C,使得为直角，则的取值范围为_.参考答案：15. 复数满足，则的虚部是 参考答案：116. 设函数f（x）为偶函数，当x（0，+）时，f（x）=log2x，则f（）=参考答案：【考点】函数奇偶性的性质；对数的运算性质【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用【分析】直接利用函数的奇偶性以及函数的解析式求解即可【解答】解：函数f（x）为偶函数，当x（0，+）时，f（x）=log2x，则f（）=f（）=log2=故答案为：【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的解析式的应用，考查计算能力17. 已知动圆和定圆内切，和定圆外切，设则 参考答案：225三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知函数（1）讨论的单调性；（2）若，求a的取值范围参考答案：（1）见解析（2）试题分析：（1）先求函数导数，再按导函数零点讨论：若，无零点，单调；若，一个零点，先减后增；若，一个零点，先减后增；（2）由单调性确定函数最小值：若，满足；若，最小值为，即；若，最小值为，即，综合可得的取值范围为.试题解析：（1）函数的定义域为，若，则，在单调递增. 若，则由得. 当时，；当时，所以在单调递减，在单调递增. 若，则由得.当时，；当时，故在单调递减，在单调递增. （2）若，则，所以. 若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为.从而当且仅当，即时，. 若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为.从而当且仅当，即时.综上，的取值范围为.点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.19. 已知命题p：在x1，2时，不等式x2+ax20恒成立；命题q：函数是区间1，+）上的减函数若命题“p或q”是真命题，求实数a的取值范围参考答案：【考点】2K：命题的真假判断与应用【分析】求出两个命题是真命题时的a的范围，然后求解实数a的范围【解答】解：x1，2时，不等式x2+ax20恒成立，a=x在x1，2上恒成立，令g（x）=x，则g（x）在1，2上是减函数，g（x）max=g（1）=1，a1即若命题p真，则a1又函数f（x）=（x22ax+3a）是区间1，+）上的减函数，u（x）=x22ax+3a是1，+）上的增函数，且u（x）=x22ax+3a0在1，+）上恒成立，a1，u（1）0，1a1，即若命题q真，则1a1综上知，若命题“p或q”是真命题，则a120. 已知双曲线具有性质：若A、B是双曲线左、右顶点，P为双曲线上一点，且P在第一象限.记直线PA，PB的斜率分别为，那么与之积是与点P位置无关的定值.（1）试对椭圆，类比写出类似的性质（不改变原有命题的字母次序），并加以证明.（2）若椭圆C的左焦点，右准线为，在（1）的条件下，当取得最小值时，求1,0的垂心H到x轴的距离.参考答案：(1)见解析(2) .【分析】（1）根据类比对应得椭圆性质，再根据斜率公式证结论，（2）先求得椭圆方程，再根据基本不等式确定最值取法，即得直线方程，与椭圆方程联立解得点坐标，再根据直线交点得垂心坐标，即得结果.【详解】（1）若、是椭圆左、右顶点，为椭圆上一点，且在第一象限.记直线，的斜率分别为，那么与之积是与点位置无关的定值，即；证明如下：设（2）因为椭圆的左焦点，右准线为，所以，椭圆由（1）知，所以当且仅当即时取“”此时直线：与椭圆联立得可设垂心，由，故的垂心到轴的距离为.21. 已知p：x2+2xm0对xR恒成立；q：x2+mx+1=0有两个正根若pq为假命题，pq为真命题，求m的取值范围参考答案：【考点】命题的真假判断与应用【分析】先确定命题p，q为真时，实数m的范围，进而由pq为假命题，pq为真命题，则p，q一真一假，得到答案【解答】解：若p为真，则=44m0，即m1 若q为真，则，即m2 pq为假命题，pq为真命题，则p，q一真一假若p真q假，则，解得：m1 若p假q真，则，解得：m2 综上所述：m2，或m1 22. 已知函数.（1）若在处取得极值，求的值；（2）讨论的单调性；（3）证明：（）为自然对数的底数）参考答案：解： （1）是的一个极值点，则 ，验证知=0符合条件. （2）. 1）若=0时， 单调递增，在单调递减； 2）若 上单调递减. 3）若. . 再令. 在. 综上所述，若上单调递减若 . 若时，在单调递增，在单调递减. （3）由（2）知，当当. 略