数学高考基础知识、常见结论详解江苏省西亭高级中学数学组一、集合与简易逻辑：一、理解集合中的有关概念（1）集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性。集合元素的互异性：如：)lg(,xyxyxA，|,| ,0yxB，求A；（2）集合与元素的关系用符号，表示。（3）常用数集的符号表示：自然数集；正整数集、；整数集；有理数集、实数集。（4）集合的表示法：列举法，描述法，韦恩图。注 意 ： 区 分 集 合 中 元 素 的 形 式 ： 如 ： 12|2xxyxA； 12|2xxyyB； 12|),(2xxyyxC； 12|2xxxxD；, 12|),(2ZyZxxxyyxE； 12|) ,(2xxyyxF；, 12|2xyzxxyzG（5）空集是指不含任何元素的集合。（0、和的区别； 0 与三者间的关系）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。注意：条件为BA，在讨论的时候不要遗忘了A的情况。如：012|2xaxxA，如果RA，求a的取值。二、集合间的关系及其运算（1）符号“,”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现点与直线（面）的关系；符号“,”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面与直线 ( 面) 的关系。（2）_BA；_BA；_ACU（3）对于任意集合BA,，则：ABBA_；ABBA_；BABA_；ABA；ABA；UBACU；BACU；BCACUU；)(BACU；（4）若n为偶数，则n；若n为奇数，则n；若n被 3 除余 0，则n；若n被 3 除余 1，则n；若n被3 除余 2，则n；三、集合中元素的个数的计算：（1）若集合A中有n个元素，则集合A的所有不同的子集个数为_，所有真子集的个数是_，所有非空真子集的个数是。（2）BA中元素的个数的计算公式为：)(BACard；（3）韦恩图的运用：四、xxA|满足条件p，xxB|满足条件q，若；则p是q的充分非必要条件BA_；若；则p是q的必要非充分条件BA_；若；则p是q的充要条件BA _；若；则p是q的既非充分又非必要条件_；五、原命题与逆否命题，否命题与逆命题具有相同的；注意： “若qp，则qp”在解题中的运用，如： “sinsin”是“”的条件。六、反证法：当证明“若p，则q”感到困难时，改证它的等价命题“若q则p”成立，步骤： 1、假设结论反面成立；2、从这个假设出发，推理论证，得出矛盾；3、由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确。矛盾的来源： 1、与原命题的条件矛盾；2、导出与假设相矛盾的命题；3、导出一个恒假命题。适用与待证命题的结论涉及“不可能”、 “不是”、 “至少”、 “至多”、 “唯一”等字眼时。正面词语等于大于小于是都是至多有一个否定正面词语至少有一个任意的所有的至多有 n 个任意两个否定二、函数一、映射与函数：（1）映射的概念：（2）一一映射：（3）函数的概念：如：若4, 3,2 ,1A，,cbaB；问：A到B的映射有个，B到A的映射有个；A到B的函数有个，若3 ,2 ,1A，则A到B的一一映射有个。函数)(xy的图象与直线ax交点的个数为个。二、函数的三要素：，。相同函数的判断方法：；(两点必须同时具备) （1）函数解析式的求法：定义法（拼凑） ：换元法：待定系数法：赋值法：（2）函数定义域的求法：)()(xgxfy，则；)()(*2Nnxfyn则；0)(xfy，则；如：)(log)(xgyxf，则；含参问题的定义域要分类讨论；如：已知函数)(xfy的定义域是 1 , 0，求)()()(axfaxfx的定义域。对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。如：已知扇形的周长为20，半径为r，扇形面积为S，则)(rfS；定义域为。（3）函数值域的求法：配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：),(,)(2nmxcbxaxxf的形式；逆求法（反求法） ：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；常用来解，型如：),(,nmxdcxbaxy；换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；基本不等式法：转化成型如：)0(kxkxy，利用平均值不等式公式来求值域；单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。求下列函数的值域：)1 ,1,0,0(xbababxabxay（2 种方法）；)0,(,32xxxxy（2 种方法）；)0,(,132xxxxy（ 2 种方法）；三、函数的性质：函数的单调性、奇偶性、周期性单调性：定义：注意定义是相对与某个具体的区间而言。判定方法有：定义法（作差比较和作商比较）导数法（适用于多项式函数）复合函数法和图像法。应用：比较大小，证明不等式，解不等式。奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f(x) 与 f(-x)的关系。 f(x) f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x) 为偶函数；f(x)+f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x) 为奇函数。判别方法：定义法，图像法，复合函数法应用：把函数值进行转化求解。周期性：定义：若函数f(x) 对定义域内的任意x 满足： f(x+T)=f(x),则 T 为函数 f(x) 的周期。其他：若函数f(x) 对定义域内的任意x 满足： f(x+a)=f(xa), 则 2a 为函数 f(x) 的周期 . 应用：求函数值和某个区间上的函数解析式。四、图形变换：函数图像变换：（重点）要求掌握常见基本函数的图像，掌握函数图像变换的一般规律。常见图像变化规律： （注意平移变化能够用向量的语言解释，和按向量平移联系起来思考）平移变换y=f(x) y=f(x+a),y=f(x)+b注意： （）有系数，要先提取系数。如：把函数( ) 经过平移得到函数( ) 的图象。（）会结合向量的平移，理解按照向量a（，）平移的意义。对称变换y=f(x) y=f( x), 关于轴对称y=f(x) y= f(x) ,关于轴对称y=f(x) y=f|x|,把轴上方的图象保留，轴下方的图象关于轴对称y=f(x) y=| f(x)|把轴右边的图象保留，然后将轴右边部分关于轴对称。（注意：它是一个偶函数）伸缩变换： y=f(x) y=f(x), y=f(x) y=Af( x+) 具体参照三角函数的图象变换。一个重要结论：若f(a x) f(a+x)，则函数 y=f(x) 的图像关于直线x=a 对称；如：)(xfy的图象如图，作出下列函数图象：（1）)( xfy； （2）)(xfy；（3）|)(| xfy； （4）| )(|xfy；（5）)2( xfy； （6）)1(xfy；（7）1)(xfy； （8）)( xfy；（9）)(1xfy。五、反函数：（1）定义：（2）函数存在反函数的条件：；x O y y=f(x) (2,0) (0,-1) （3）互为反函数的定义域与值域的关系：；（4）求反函数的步骤：将)(xfy看成关于x的方程，解出)(1yfx，若有两解，要注意解的选择；将yx,互换，得)(1xfy；写出反函数的定义域（即)(xfy的值域）。（5）互为反函数的图象间的关系：；（6）原函数与反函数具有相同的单调性；（7）原函数为奇函数，则其反函数仍为奇函数；原函数为偶函数，它一定不存在反函数。如：求下列函数的反函数：)0( 32)(2xxxxf；122)(xxxf；)0(21log)(2xxxxf七、常用的初等函数：（1）一元一次函数：)0(abaxy，当0a时，是增函数；当0a时，是减函数；（2）一元二次函数：一般式：)0(2acbxaxy；对称轴方程是；顶点为；两点式：)(21xxxxay；对称轴方程是；与x轴的交点为；顶点式：hkxay2)(；对称轴方程是；顶点为；一元二次函数的单调性：当0a时：为增函数；为减函数；当0a时：为增函数；为减函数；二次函数求最值问题：首先要采用配方法，化为hkxay2)(的形式，、若顶点的横坐标在给定的区间上，则0a时：在顶点处取得最小值，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；0a时：在顶点处取得最大值，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；、若顶点的横坐标不在给定的区间上，则0a时：最小值在距离对称轴较近的端点处取得，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；0a时：最大值在距离对称轴较近的端点处取得，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；有三个类型题型：(1)顶点固定，区间也固定。如： 1 ,1, 12xxxy(2)顶点含参数 (即顶点变动 )，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外。(3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数 1, 12aaxxxy二次方程实数根的分布问题：设实系数一元二次方程0)(2cbxaxxf的两根为21,xx；则：根的情况kxx21kxx2121xkx等价命题在区间),(k上有两根在区间),(k上有两根在区间),(k或),(k上有一根充要条件注意：若在闭区间,nm讨论方程0)(xf有实数解的情况，可先利用在开区间),(nm上实根分布的情况，得出结果，在令nx和mx检查端点的情况。（3）反比例函数：) 0(xxaybxcay（4）指数函数：)1,0(aaayx指数运算法则：；。指数函数： y=xa(ao,a 1) ，图象恒过点（ 0，1） ，单调性与 a 的值有关，在解题中，往往要对a 分 a1和 0ao,a 1) 图象恒过点（ 1，0） ，单调性与a 的值有关，在解题中，往往要对a 分a1 和 0a0，则ba11。即不等式两边同号时，不等式两边取倒数，不等号方向要改变。如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论。图象法：利用有关函数的图象（指数函数、对数函数、二次函数、三角函数的图象），直接比较大小。中介值法：先把要比较的代数式与“0”比，与“ 1”比，然后再比较它们的大小二、均值不等式：两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。若0,ba，则abba2（当且仅当ba时取等号）基本变形：ba；2)2(ba；若Rba,，则abba222，222)2(2baba基本应用：放缩，变形；求函数最值：注意：一正二定三取等；积定和小，和定积大。当pab（常数），当且仅当时，；当Sba（常数），当且仅当时，；常用的方法为：拆、凑、平方；如：函数)21(4294xxxy的最小值。若正数yx,满足12yx，则yx11的最小值。三、绝对值不等式：注意：上述等号“”成立的条件；四、常用的基本不等式：（1）设Rba,，则0)( ,022baa（当且仅当时取等号）（2）aa |（当且仅当时取等号）；aa |（当且仅当时取等号）（3）baabba110,；ba11；五、证明不等式常用方法：（1）比较法：作差比较：BABA0作差比较的步骤：作差：对要比较大小的两个数（或式）作差。变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和。判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号。注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小。（2）综合法：由因导果。（3）分析法：执果索因。基本步骤：要证只需证，只需证（4）反证法：正难则反。（5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。放缩法的方法有：添加或舍去一些项，如：aa12；nnn)1(将分子或分母放大（或缩小）利用基本不等式，如：4lg16lg15lg)25lg3lg(5lg3log2；2)1()1(nnnn利用常用结论：、kkkkk21111；、kkkkk111)1(112；111)1(112kkkkk（程度大）、)1111(21)1)(1(111122kkkkkk； （程度小）（6）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。如：已知222ayx，可设sin,cosayax；已知122yx，可设sin,cosryrx(10r) ；已知