1 第二十九讲由正难则反切入人们习惯的思维方式是正向思维，即从条件手， 进行正面的推导和论证，使问题得到解决但有些数学问题，若直接从正面求解，则思维较易受阻，而“正难则反，顺难则逆，直难则曲”是突破思维障碍的重要策略数学中存在着大量的正难则反的切入点数学中的定义、 公式、 法则和等价关系都是双向的， 具有可逆性； 对数学方法而言，特殊与一般、 具体与抽象、 分析与综合、 归纳与演绎，其思考方向也是可逆的；作为解题策略， 当正向思考困难时可逆向思考，直接证明受阻时可间接证明，探索可能性失败时转向考察不可能性由正难则反切入的具体途径有：1 定义、公式、法则的逆用；2常量与变量的换位；3反客为主；4反证法等【例题求解】【例 1】 已知x满足222322xxxx，那么xx22的值为思路点拨视xx22为整体，避免解高次方程求x 的值【例 2】 已知实数 a、b、c 满足ba， 且0)()(2 0 0 2)(2 0 0 2accbba求2)()(baacbc的值思路点拨显然求 a、b、c的值或寻求a、b、c的关系是困难的， 令x2000， 则 2002=2x，原等式就可变形为关于x 的一元二次方程，运用根与系数关系求解注： （1）人们总习惯于用凝固的眼光看待常量与变量，认为它们泾渭分明，更换不得，实际上将常量设为变量，或将变量暂时看作常量，都会给人以有益的启示（ 2）人的思维活动既有“求同”和“定势”的方面，又有“求异”和“变通”的方面求同与求异， 定势与变通是人的思维个性的两极，充分利用知识和方法的双向性，是培养思维能力的重要途径正难则反在具体的解题中，还表现为下列各种形式：(1)不通分母通分子；(2)不求局部求整体；(3)不先开方先平方；(4)不用直接挖隐含；(5)不算相等算不等；(6)不求动态求静态等2 【例 3】设 a 、b、c 为非零实数， 且022cbxax，022acxbx，022baxcx，试问： a、b、 c满足什么条件时，三个二次方程中至少有一个方程有不等的实数根思路点拨如从正面考虑， 条件“三个方程中至少有一个方程有不等的实数根”所涉及的情况比较复杂，但从其反面考虑情况却十分简单，只有一种可能，即三个方程都没有实数根，然后从全体实数中排除三个方程都无实数根的a、b、 c的取值即可注：受思维定势的消极影响，人们在解决有几个变量的问题时，总抓住主元不放，使有些问题的解决较为复杂，此时若变换主元，反客为主，问题常常能获得简解【例4】 已知一平面内的任意四点，其中任何三点都不在一条直线上，试问：是否一定能从这样的四点中选出三点构成一个三角形，使得这个三角形至少有一内角不大于45?请证明你的结论思路点拨结论是以疑问形式出现的，不妨先假定是肯定的，然后推理若推出矛盾，则说明结论是否定的；若推不出矛盾，则可考虑去证明结论是肯定的【例 5】 能够找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与2002 的和都是完全平方数吗 ?若能够，请举出一例；若不能够，请说明理由思路点拨先假设存在正整数1n，2n，3n，4n满足22000mnnji( i ，j=1，2， 3，4，m 为正整数 )运用完全平方数性质、奇偶性分析、分类讨论综合推理，若推出矛盾，则原假设不成立注：反证法是从待证命题的结论的反面出发，进行推理， 通过导出矛盾来判断待证命题成立的方法，其证明的基本步骤是：否定待证命题的结论、推理导出矛盾、肯定原命题的结论宜用反证法的三题特征是：(1)结论涉及无限；(2)结论涉及唯一性；(3)结论为否定形式；(4)结论涉及“至多，至少”；(5)结论以疑问形式出现等3 学力训练1由小到大排列各分数：116，1710，1912，2315，3320，9160是2分解因式2232)1(aaxxax= 3解关于x的方程：04337222234aaxxaxxx( a 81)得 x = 4100999910013223121121的结果是5 若 关 于 x 的 三 个 方 程 ，0324422mmmxx，0)12(22mxmx，012) 1(2mmxxm中至少有一个方程有实根，则m 的取值范围是6有甲、乙两堆小球，如果第一次从甲堆拿出和乙堆同样多的小球放到乙堆，第二次从乙堆拿出和甲堆剩下的同样多的小球放到甲堆，如此挪动4 次后，甲、乙两堆小球恰好都是16 个，那么，甲、乙两堆最初各有多少个小球? 7求这样的正整数a ，使得方程074) 12( 22axaax至少有一个整数解8某班参加运动会的19 名运动员的运动服号码恰是119 号，这些运动员随意地站成一个圆圈，则一定有顺次相邻的3 名运动员，他们运动服号码之和不小于32，请说明理由9如正整数 a和b之和是 n ，则 n 可变为ab，问能不能用这种方法数次，将 22 变成 2001？10证明：如果整系数二次方程02cbxaxa (0a)有有理根，那么a ，b， c 中至少有一个是偶数11在 ABC 中是否存在一点P，使得过P 点的任意一直线都将该ABC 分成等面积的两部分 ?为什么 ? 12求证：形如4n+3 的整数是 (n 为整数 )不能化为两个整数的平方和1313 位小运动员，他们着装的运动服号码分别是113 号问：这13 名运动员能否站成一个圆圈，使得任意相邻的两名运动员号码数之差的绝对值都不小于3，且不大于5？如果能，试举一例；如果不能，请说明理由14有 12 位同学围成一圈，其中有些同学手中持有鲜花，鲜花总数为13 束，他们进行分花游戏，每次分花按如下规则进行：其中一位手中至少持有两束鲜花的同学拿出两束鲜花分给与其相邻的左右两位同学，每人一束试证：在持续进行这种分花游戏的过程中，一定会出现至少有7 位同学手中持有鲜花的情况4 参考答案5 第三十讲从创新构造入手有些数学问题直接求解比较困难，可通过创造性构造转化问题而使问题获解所谓构造法， 就是综合运用各种知识和方法，依据问题的条件和结论给出的信息，把问题作适当的加工处理构造与问题相关的数学模式，揭示问题的本质，从而沟通解题思路的方法构造法是一种创造性思维，是建立在对问题结构特点的深刻认识基础上的构造法的基本形式是以已知条件为“原料”，以所求结论为 “方向”，构造一种新的数学形式，初中阶段常用的构造解题的基本方法有：1构造方程；2构造函数；3构造图形；4对于存在性问题，构造实例；5对于错误的命题，构造反例；6构造等价命题等【例题求解】【例 1】 设1a、2a、1b、2b都为实数，21aa，满足)()(22122111babababa，求证：1)()(22211211babababa6 思路点拨可以从展开已知等式、按比例性质变形已知等式等角度尝试仔细观察已知等式特点，1a、2a可看作方程1)(21bxbx的两根，则)(1)(2121axaxbxbx，通过构造方程揭示题设条件与结论的内在规律，解题思路新颖而深刻注：一般说来， 构造法包含下述两层意思：利用抽象的普遍性，把实际问题转化为数学模型；利用具体问题的特殊性，给所解决的问题设计一个框架，强调数学应用的数学建模是前一层意思的代表，而后一层意思的“框架”含义更为广泛，如方程、函数、图形、“抽屉”等【例 2】 求代数式1342222xxxx的最小值思路点拨用一般求最值的方法很难求出此代数式的最小值222222) 30()2() 10() 1(13422xxxxxx，于是问题转化为：在x轴上求一点C(1，0)，使它到两点A(一 1，1)和 B(2，3)的距离和 (CA+CB) 最小，利用对称性可求出 C 点坐标这样，通过构造图形而使问题获解【例 3】 已知b、 c为整数，方程052cbxx的两根都大于1 且小于 0，求b和 c的值思路点拨利用求根公式，解不等式组求出b、 c 的范围，这是解本例的基本思路，解法繁难由于二次函数与二次方程有深刻的内在联系，构造函数，令cbxxy25，从讨论抛物线与 x 轴交点在1与 0 之间所满足的约束条件入手【例 4】 如图，在矩形ABCD 中， AD= a ，AB=b，问：能否在Ab 边上找一点E，使 E 点与 C、D 的连线将此矩形分成三个彼此相似的三角形?若能找到， 这样的 E 点有几个 ?若不能找到，请说明理由思路点拨假设在 AB 边上存在点E，使 RtADE RtBECRtECD ，又设 AE= x，则BCBEAEAD，即axbxa，于是将问题转化为关于x 的一元二次方程是否有实根，在一定条件下有几个实根的研究，通过构造方程解决问题7 【例 5】 试证：世界上任何6 个人，总有3 人彼此认识或者彼此不认识思路点拨构造图形解题，我们把“人”看作“点”，把 2 个人之间的关系看作染成颜色的线段比如2 个人彼此认识就把连接2 个人的对应点的线段染成红色；2 个人彼此不认识，就把相应的线段染成蓝色，这样，有3 个人彼此认识就是存在一个3 边都是红色的三角形，否则就是存在一个3 边都是蓝色的三角形，这样本题就化作：已知有6 个点，任何3 点不共线，每2 点之间用线段连结起来，并染上红色或蓝色，并且一条边只能染成一种颜色证明：不管怎么染色，总可以找出三边同色的三角形注： “数缺形时少直观，形缺少时难入微”数形互助是一种重要的思想方法，主要体现在：(1)几何问题代数化；(2)利用图形图表解代数问题；(3)构造函数，借用函数图象探讨方程的解利用代数法解几何题，往往是以较少的量的字母表示相关的几何量，根据几何图形性质列出代数式或方程(组)，再进行计算或证明特别地， 证明几何存在性的问题可构造方程，利用一元二次方程必定有解的的的代数模型求证；应用为韦达定理，讨论几何图形位置的可能性有些问题可通过改变形式或换个说法，构造等价命题或辅助命题，使问题清晰且易于把握对于存在性问题，可根据问题要求构造出一个满足条件的结论对象，即所谓的存在性问题的“构造性证明” 学历训练1若关于 x 的方程012)1(22mxxm的所有根都是比1 小的正实数， 则实数 m的取值范围是2已知a 、b、 c 、d是四个不同的有理数，且1)(daca，1)(dbcb，那么)(cbca的值是3代数式9)12(422xx的最小值为4A、B、C、D、E、 F 六个足球队单循环赛，已知A、 B、C、D、E 五个队已经分别比赛了 5、4、3、2、 1 场，则还未与B 队比赛的球队是5若实数 a、b满足122baba，且22baabt，则 t 的取值范围是6设实数分别s、t 分别满足0199192ss，019992tt，并且1st，求tsst14的值7已知实数a 、b、 c 满足0)(cbaca，求证：)(4)(2cbaacb8 8写出 10 个不同的自然数，使得它们中的每个是这10 个数和的一个约数，并说明写出的10 个自然数符合题设条件的理由9求所有的实数x ，使得xxxx11110若是不全为零且绝对值都小于106的整数求证：2110132cba11已知关于x 的方程kxx1322有四个不同的实根，求k的取值范围12设10zyx，0，求证1)1()1 ()1 (xzzyyx13从自然数l，2，3， 354 中任取 178 个数，试证：其中必有两个数，它们的差为17714已知 a 、b、 c 、d、 e是满足8edcba，162222edcba的实数，试确定 e的最大值15如图，已知一等腰梯形，其底为a和b，高为h(1)在梯形的对称轴上求作点P，使从点P 看两腰的视角为直角；(2)求点 P 到两底边的距离；(3)在什么条件下可作出P 点? 参考答案9 10