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湖南省长沙市喻家中学2021-2022学年高三数学文模拟试卷含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 若展开式中的所有二项式系数和为512,则该展开式中的常数项为 ( )A B C D参考答案:B二项展开式的系数和为,所以,二项展开式为,令,得,所以常数项为,选B。2. 将函数的图像平移后所得的图像对应的函数为,则进行的平移是( )A、向右平移个单位 B、向左平移个单位 C、向右平移个单位 D、向左平移个单位参考答案:B略3. 函数 在(1,)上单调递增,则a的取值范围是()Aa3 Ba3 Ca3 Da3 参考答案:D4. 在等比数列中,则的值为( )A9 B1 C2D3参考答案:D5. 已知,则的值为( )A. B. C.D.参考答案:D略6. 如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为( )A B C D 参考答案:A由三视图可知几何体为直三棱柱,直观图如图所示:其中,底面为直角三角形, , ,高为 .该几何体的体积为 故选A.7. 已知i是虚数单位,则复数的实部与虚部的和等于(A)2 (B)0 (C)2 (D)1i参考答案:B略8. 在复平面内,复数对应的点位于( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限参考答案:答案:A 9. 学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座,每科一节课,每节至少有一科,且数学、理综不安排在同一节,则不同的安排方法共有()A6种B24种C30种D36种参考答案:C【考点】排列、组合的实际应用【分析】先从4个中任选2个看作整体,然后做3个元素的全排列,从中排除数学、理综安排在同一节的情形,可得结论【解答】解:由于每科一节课,每节至少有一科,必有两科在同一节,先从4科中任选2科看作一个整体,然后做3个元素的全排列,共种方法,再从中排除数学、理综安排在同一节的情形,共种方法,故总的方法种数为=366=30故选:C【点评】本题考查排列组合及简单的计数问题,采用间接法是解决问题的关键,属中档题10. 已知为实数集,集合,则( )A B C D参考答案:C =为实数,2a=0,即a=2二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 从编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的十个形状大小相同的球中,任取3个球,则这3个球编号之和为奇数的概率是_。参考答案:12. 全国篮球职业联赛的某个赛季在H队与F队之间角逐。采取七局四胜制(无平局),即若有一队胜4场,则该队获胜并且比赛结束。设比赛双方获胜是等可能的。根据已往资料显示,每场比赛的组织者可获门票收入100万元。组织者在此赛季中,两队决出胜负后,门票收入不低于500万元的概率是_参考答案:0.875提示:解一:门票收入不低于500万元比赛进行了5场或6场或7场。赛5场的概率赛6场的概率赛7场的概率赛5场或6场或7场两两不能同时发生,故门票收入不低于500万元的概率 P=P1 + P2 + P3 =0.875解二:恰为赛4场的概率为P; 故门票收入不低于500万元的概率13. 已知数列的前项和为,若(是常数),则数列是等比数列的充要条件是 . 参考答案:当时,。当时,所以要使是等比数列,则当时,即,所以。14. 已知双曲线=1(a0,b0),过双曲线上任意一点P分别作斜率为和的两条直线l1和l2,设直线l1与x轴、y轴所围成的三角形的面积为S,直线l2与x轴、y轴所围成的三角形的面积为T,则S?T的值为参考答案:【考点】双曲线的简单性质【分析】不妨设点P在第一象限,设点P(x0,y0),得到直线l1的方程为yy0=(xx0),直线l2的方程为yy0=(xx0),再分别求出A,B,C,D的坐标,表示出S,T,计算ST即可【解答】解:不妨设点P在第一象限,设点P(x0,y0)直线l1的方程为yy0=(xx0),直线l2的方程为yy0=(xx0),A(0,y0+x0),B(x0+x0,0),D(0,y0x0),C(x0y0,0),S=(y0+x0)(x0+x0),T=(y0x0)(x0y0),ST=(y02x02)(x02y02)=,故答案为:【点评】本题考查双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,比较基础15. 已知函数的部分图象如图所示,则点的坐标为_;参考答案:16. 设非零向量与夹角是,且|=|+|,则的最小值是参考答案:【分析】由可知=,根据数量积的定义可得=|,从而得出|=|,计算的平方得出关于t的函数,从而得出最小值【解答】解:,=+2+,即=|2,=|cos=|,|2=|,即|=|,()2=t22t+4=(t1)2+3,当t=1时,取得最小值故答案为17. 正方体的棱长为,是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦),为正方体表面上的动点,当弦的长度最大时,的最大值是 参考答案:2因为是它的内切球的一条弦,所以当弦经过球心时,弦的长度最大,此时.以为原点建立空间直角坐标系如图.根据直径的任意性,不妨设分别是上下底面的中心,则两点的空间坐标为,设坐标为,则,所以,即.因为点为正方体表面上的动点,所以根据的对称性可知,的取值范围与点在哪个面上无关,不妨设,点在底面内,此时有,所以此时,,所以当时,此时最小,当但位于正方形的四个顶点时,最大,此时有,所以的最大值为2. 三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 如图,在三棱柱中,、分别是、的中点.(1)设棱的中点为,证明:平面;(2)若,且平面平面,求三棱锥的体积. 参考答案:(1)证明:连接是的中点,是的中点,可由棱柱的性质知,且;四边形是平行四边形分别是、的中点平面平面平面(2)在面内作于点平面平面 平面, 是边长为的正三角形 于是19. 已知函数().()当时,求函数的极值; ()若对任意,不等式恒成立,求实数的取值范围参考答案:()当时, 令,解得. 当时,得或;当时,得. 分当变化时,的变化情况如下表:1+00+极大极小当时,函数有极大值,; 当时,函数有极大值, 略20. 已知直线l:x+y=1与y轴交于点P,圆O的方程为x2+y2=r2(r0)()如果直线l与圆O相切,那么r=;(将结果直接填写在答题卡的相应位置上)()如果直线l与圆O交于A,B两点,且,求r的值参考答案:(I)【考点】直线与圆的位置关系【分析】()如果直线l与圆O相切,圆心到直线的距离d=r;()如果直线l与圆O交于A,B两点,且,分类讨论,利用相交弦定理、勾股定理求r的值【解答】解:()圆心到直线的距离d=,()设|PA|=x,则|PB|=2x圆心到直线的距离d=点P在圆内,|AB|=3x,则x?2x=(r1)(r+1),x2=(r21),r2=(r21)+,r=;点P在圆外,则x?2x=(1r)(r+1),x2=(1r2),r2=(1r2)+,r=;r的值为或故答案为:21. 选修44:坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程是,以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线的参数方程.(1)写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程;(2)设曲线经过伸缩变换得到曲线,设曲线上任一点为,求的最小值.参考答案:()4分()曲线7分令9分 最小值10分略22. (16分)已知mR,对p:x1和x2是方程x2ax2=0的两个根,不等式|m5|x1x2|对任意实数a恒成立;q:函数f(x)=3x2+2mx+m+有两个不同的零点求使“p且q”为真命题的实数m的取值范围参考答案:【考点】命题的真假判断与应用【专题】函数的性质及应用【分析】利用二次方程的韦达定理求出|x1x2|,将不等式恒成立转化为求函数的最值,求出命题p为真命题时m的范围;利用二次方程有两个不等根判别式大于0,求出命题Q为真命题时m的范围;p且q为真转化为两个命题全真,求出m的范围【解答】解:由题设x1+x2=a,x1x2=2,|x1x2|=当a时,的最小值为3要使|m5|x1x2|对任意实数a恒成立,只须|m5|3,即2m8由已知,得f(x)=3x2+2mx+m+=0的判别式=4m212(m+)=4m212m160,得m1或m4综上,要使“p且q”为真命题,只需P真Q真,即 ,解得实数m的取值范围是(4,8【点评】本题考查二次方程的韦达定理、二次方程有根的判断、复合命题的真假与构成其简单命题的真假的关系能及恒成立问题,属于中档题
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