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辽宁省大连市庄河第三初级中学2020-2021学年高二数学理模拟试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 已知二面角的平面角是锐角,内一点到的距离为3,点到棱的距离为4,那么的值等于( )A B C D参考答案:D2. 四名同学根据各自的样本数据研究变量之间的相关关系,并求得回归直线方程和相关系数,分别得到以下四个结论: 其中,一定不正确的结论序号是( ) A B C D 参考答案:B3. 甲校有3600名学生。乙校有5400名学生,丙校有1800名学生,为统计三校学生身高方面的情况,计划采用分层抽样法,抽取一个样本容量为90人的样本,则应在这三校分别抽取学生( ) A30人,30人,30人 B30人,45人,15人 C20人,30人,10人 D. 30人,50人,10人参考答案:B4. 若直线l:ykx与直线xy30的交点位于第二象限,则直线l的倾斜角的取值范围是()A B C D 参考答案:D略5. 一个盛满水的三棱锥容器,不久发现三条侧棱上各有一个小洞D、E、F,且知SD:DA=SE:EB=CF:FS=2:1,若仍用这个容器盛水,则最多可盛原来水的( )A B C DA. 参考答案:D6. 已知命题,则为A B C D参考答案:C分析:把全称改为特称,大于改为小于等于。详解:,故选C7. 某校共有高中学生1000人,其中高一年级400人,高二年级340人,高三年级260人,现采用分层抽样抽取容量为50的样本,那么高一、高二、高三各年级抽取人数分别为( ) A20、17、13 B20、15、15 C40、34、26 D20、20、10参考答案:A略8. 已知球O,过其球面上A,B,C三点作截面,若O点到该截面的距离等于球半径的一半,且AB=BC=2,B=120,则球O的表面积为()ABC4D参考答案:A【考点】LG:球的体积和表面积【分析】设出球的半径,小圆半径,通过已知条件求出两个半径,再求球的表面积【解答】解:如图,设球的半径为r,O是ABC的外心,外接圆半径为R,则OO面ABCAB=BC=2,B=120,在RtOOB中,则sinOBO=在ABC中,由正弦定理得=2R,R=2,即OB=2在RtOBO中,由题意得r2r2=4,得r2=球的表面积S=4r2=4=故选:A9. 曲线在点处的切线方程为( )Axy1=0B2xy21=0 C2x+y2+1=0Dx+y+1=0参考答案:C 由,得,所以,所以曲线在点处的切线方程为,即10. 若函数f(x)excosx,则此函数图象在点(1,f(1)处的切线的倾斜角为()A0 B锐角 C直角 D钝角参考答案:D略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若方程表示圆,则实数的值为 .参考答案:12. 已知集合A=a,b,2,B=2,b2,2a,且AB=AB,则a=_. 参考答案:0或略13. 已知双曲线的离心率为2,则的值为 _ _参考答案:略14. 若复数为纯虚数,则实数a的值等于 参考答案:0根据题意,结合复数的概念可知,复数为纯虚数则有,这样解得a=0,故答案为0.15. 已知命题p:方程表示的曲线为椭圆;命题q:方程表示的曲线为双曲线;若p或q为真,p且q为假,则实数的取值范围为.参考答案:若p真,则,得m2;若q真,则(m1)(m3)0,得1m3;由题意知,p、q一真一假.若p真q假,则,得m3;若p假q真,则 ,得1m2,综上,m(1,23,)16. 已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a= 参考答案:8【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出y=x+lnx的导数,求得切线的斜率,可得切线方程,再由于切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,有且只有一切点,进而可联立切线与曲线方程,根据=0得到a的值【解答】解:y=x+lnx的导数为y=1+,曲线y=x+lnx在x=1处的切线斜率为k=2,则曲线y=x+lnx在x=1处的切线方程为y1=2x2,即y=2x1由于切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,故y=ax2+(a+2)x+1可联立y=2x1,得ax2+ax+2=0,又a0,两线相切有一切点,所以有=a28a=0,解得a=8故答案为:817. 函数的最大值为_.参考答案:5略三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. (本小题满分12分)学校或班级举行活动,通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报,要求版心面积为128dm2 ,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。如何设计海报的尺寸才能使四周空白面积最小?参考答案:版心高为16dm,宽为8dm时,海报四周空白面积最小设版心的高为xdm,则版心的宽为dm,此时四周空白面积为求导数得:令,解得x=16,x=-16(舍去)于是宽为当时,;当时,因此,x16是函数的极小值点,也是最小值点。所以当版心高为16dm,宽为8dm时,能使四周空白面积最小。答:当版心高为16dm,宽为8dm时,海报四周空白面积最小。19. 极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位,以原点为极点,x轴正半轴为极轴.已知曲线C1的极坐标为,曲线C2的参数方程为(t为参数,),射线,与曲线C2交于(不包括极点O)三点A,B,C,(1)求证:;(2)当时,B,C两点在曲线C2上,求m与a的值.参考答案:() 曲线的极坐标为,射线,与曲线交于(不包括极点)三点, , ,证毕;5分()当时,点的极坐标为,直角坐标为;点的极坐标为,直角坐标为 当时,曲线的参数方程为(为参数),不满足条件; 当时,消去参数得的方程为, 两点在曲线上, ,解得12分20. 已知椭圆的离心率为,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为.()求椭圆的方程;()已知动直线与椭圆相交于、两点.若线段中点的横坐标为,求斜率的值;已知点,求证:为定值.参考答案:解:(1)因为满足, 2分,解得,则椭圆方程为 4分21. 在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),若以该直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半粙为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为.设M点极坐标为,且,.()求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程;()求M点的直角坐标;若直线l与曲线C交于A,B两点,求.参考答案:()直线,曲线()【分析】()利用参数方程化普通方程,利用极坐标化普通方程求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程;()求出,即得点M的直角坐标;利用直线参数方程t的几何意义解答.【详解】解(),曲线.(),.将代入,得,【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化,考查直线参数方程t的几何意义,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.22. 已知函数.(1)求的单调区间;(2)若直线是函数的图象的切线,求的最小值.参考答案:(1)的单调增区间为(0,1),单调减区间为(2)的最小值为-1【分析】(1)由可得增区间,由可得减区间(2)设切点坐标为,根据导数的几何意义求得,又由,得,从而得到,然后再利用导数求出函数的最小值即可【详解】(1), 由,得;由,得,的单调增区间为,单调减区间为(2)由题意得,则,设切点坐标为,则切线的斜率,又,令,则,故当时,单调递减;当时,单调递增当时,有最小值,且,的最小值为【点睛】本题考查导数的几何意义和导数在研究函数性质中的作用,其中在研究函数的性质中,单调性是解题的工具和基础,而正确求导并判断导函数的符号是解题的关键,考查计算能力和转化意识的运用,属于基础题
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