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辽宁省大连市庄河第三十一初级中学2020-2021学年高二数学文联考试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 如图,在三棱锥S-ABC中,SA=SC=AB=BC,则直线SB与AC所成角的大小是 (A)30o (B)45o (C)60o (D)90o参考答案:D2. 已知是实数,则“且”是“且”的 ( )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件参考答案:C略3. 某篮球运动员在一个赛季的40场比赛中的得分的茎叶图如右图所示,则中位数与众数分别为 A23,21 B23,23 C23,25 D25,25参考答案:B4. 以下四个命题中,真命题是()A?x(0,),sinx=tanxB“?xR,x2+x+10”的否定是“?x0R,x02+x0+10”C?R,函数f(x)=sin(2x+)都不是偶函数D条件p:,条件q:则p是q的必要不充分条件参考答案:D【考点】2K:命题的真假判断与应用【分析】A,当 (0,)时,sinxxtanx,结合函数y=sinx与y=tanx的图象,不存在x(0,),sinx=tanx;对于B,“?xR,x2+x+10”的否定是“?x0R,x02+x0+10,“;C,当=k,kZ时,函数f(x)=sin(2x+)是偶函数;D,条件p 成立,条件q不一定成立,如x=1,y=6,条件pq成立,条件p一定成立;【解答】解:对于A,因为当 (0,)时,sinxxtanx,结合函数y=sinx与y=tanx的图象,不存在x(0,),sinx=tanx,故错;对于B,“?xR,x2+x+10”的否定是“?x0R,x02+x0+10,故错”;对于C,当=k,kZ时,函数f(x)=sin(2x+)是偶函数,故错;对于D,条件p 成立,条件q不一定成立,如x=1,y=6,条件pq成立,条件p一定成立故正确;故选:D5. |x|2是|x+1|1成立的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件参考答案:B略6. 已知M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=4,则动点P的轨迹是A.双曲线 B.双曲线左支 C.双曲线右支 D.一条射线参考答案:D7. 函数是定义在0,+)上的可导函数,且,则对任意正实数a,下列式子恒成立的是( )A B C D参考答案:A由题得:构造函数且定义在上的可导函数,即)-,故在上单调递减,因为正实数,故,故选A.8. 抛物线C:y2=2px(p0)的准线为l,焦点为F,圆M的圆心在x轴的正半轴上,圆M与y轴相切,过原点O作倾斜角为的直线m,交直线l于点A,交圆M于不同的两点O、B,且|AO|=|BO|=2,若P为抛物线C上的动点,则的最小值为()A2B2CD3参考答案:B【考点】抛物线的简单性质【分析】求出p的值,从而求出抛物线方程,求出圆心和半径可求出M的方程,表示出,然后根据点在抛物线上将y消去,求关于x 的二次函数的最小值即可;【解答】解:因为=OA?cos=2=1,即p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x,设M的半径为r,则=2,所以M的方程为(x2)2+y2=4设P(x,y)(x0),则=x23x+2+y2=x2+x+2,所以当x=0时,有最小值为2故选:B【点评】本题主要考查了圆的方程和抛物线方程,以及向量数量积的最值,属于中档题9. 下列各组函数中,表示同一函数的是( )A B C D 参考答案:C略10. 若曲线f(x)=ax2+x+lnx在点(1,f(1)处的切线与y=x1平行,则a=()A1B0C1D2参考答案:C【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求得f(x)的导数,可得x=1处切线的斜率,由两直线平行的条件:斜率相等,解方程即可得到所求值【解答】解:f(x)=ax2+x+lnx的导数为f(x)=2ax+,曲线f(x)=ax2+x+lnx在点(1,f(1)处的切线斜率为k=2a+1=2a+,由切线与y=x1平行,可得2a+=,解得a=1故选:C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图是抛物线形拱桥,当水面在时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位降2米后,水面宽 米. 参考答案:略12. 某人要测量一座山的高度,他在山底所在的水平面上,选取在同一直线上的三点进行测量。他在A点测得山顶的仰角是,在B点测得山顶的仰角是,在C点测得山顶的仰角是,若,则这座山的高度为 _ (结果用表示)。参考答案:13. 若圆锥的表面积为平方米,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面的直径为_。参考答案:解析: 设圆锥的底面的半径为,圆锥的母线为,则由得, 而,即,即直径为14. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x0时,f(x)=ex2ax若函数f(x)在R内没有零点,则a的取值范围是参考答案:a【考点】3L:函数奇偶性的性质【分析】作出y=ex与直线y=2ax的函数图象,令两图象在0,+)上无交点得出a的范围【解答】解:f(x)无零点,且f(x)是偶函数,y=ex与直线y=2ax在0,+)上无交点,作出y=ex与直线y=2ax的函数图象,如图所示:设直线y=2ax与y=ex相切,切点为(m,n),则,解得,a故答案为:【点评】本题考查了函数零点与函数图象的关系,属于中档题15. 若双曲线的渐近线方程为,则双曲线的焦点坐标是 参考答案:【考点】双曲线的简单性质【分析】由题意知,m=3由此可以求出双曲线的焦点坐标【解答】解:由题意知,m=3c2=4+3=7,双曲线的焦点坐标是 ()故答案:()16. 319,377,116的最大公因数是_. 参考答案:2917. .参考答案:三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 已知函数。 ()求函数的图像在处的切线方程;()求的最大值;()设实数,求函数在上的最小值参考答案:()定义域为 又 函数的在处的切线方程为:,即 ()令得当时,在上为增函数 当时,在上为减函数 (),由(2)知:在上单调递增,在上单调递减。在上的最小值 当时, 当时, 19. (12分)已知函数f(x)=axlnx,x(0,e,g(x)=,其中e是自然常数,aR(1)当a=1时,求f(x)的极值,并证明f(x)g(x)+,x(0,e恒成立;(2)是否存在实数a,使f(x)的最小值为3?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由参考答案:【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】(1)求出函数的导数,由x(0,e和导数的性质能求出f(x)的单调区间、极值,f(x)=xlnx在(0,e上的最小值为1,由此能够证明f(x)g(x)+(2)求出函数f(x)的导数,由此进行分类讨论能推导出存在a=e2【解答】解:(1)f(x)=1=,x(0,e,由f(x)=0,得1xe,增区间(1,e)由f(x)0,得0x1减区间(0,1)故减区间(0,1);增区间(1,e)所以,f(x)极小值=f(1)=1令 F(x)=f(x)g(x)=xlnx,求导F(x)=1=,令H(x)=x2x+lnx1则H(x)=2x1+=(2x2x+1)0易知H(1)=1,故当0x1时,H(x)0,即F(x)01xe时,H(x)0,即F(x)0故当x=1时F(x)有最小值为F(1)=0故对x(0,e有F(x)0,f(x)g(x)+(2)f(x)=a=,当a0时,f(x)在(0,e)上是减函数,ae1=3,a=0,(舍去)当0a时,f(x)=,f(x)在(0,e上是减函数,ae1=3,a=,(舍去)当a时,f(x)在(0,上是减函数,(,e)是增函数,a?ln=3,a=e2,所以存在a=e2【点评】本题考查利用导数求闭区间上函数的最值的应用,综合性强,难度大解题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地进行等价转化20. (本小题12分)第()小题5分,第()题7分已知中心在原点,左焦点为的椭圆C的左顶点为,上顶点为,到直线的距离为.()求椭圆C的方程;()若椭圆方程为:(),椭圆方程为:(,且),则称椭圆是椭圆的倍相似椭圆.已知是椭圆C的倍相似椭圆,若椭圆C的任意一条切线交椭圆于两点、,试求弦长的取值范围.参考答案:所以直线方程为: 1分到直线距离为 2分又, 3分解得:, 4分故:椭圆方程为:. 5分(2) 椭圆的倍相似椭圆的方程为: 6分若切线垂直于轴,则其方程为:,易求得 7分若切线不垂直于轴,可设其方程为:将代人椭圆方程,得: (*) 8分记、两点的坐标分别为、将代人椭圆方程,得: 9分此时:, 10分
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