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辽宁省大连市普兰店第十八高级中学2020年高三数学理上学期期末试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 的内角满足条件:且,则角的取值范围是( )A. B. C. D.参考答案:C2. 等比数列满足,且,则当时,( ) A. B. C. D. 参考答案:A3. 已知=b+i(a,bR),其中i为虚数单位,则a+b=()A1B1C2D3参考答案:B略4. 设a,则使函数y=xa的定义域是R,且为奇函数的所有a的值是( )A1,3B1,1C1,3D1,1,3参考答案:A【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域;函数奇偶性的判断 【专题】计算题【分析】分别验证a=1,1,3知当a=1或a=3时,函数y=xa的定义域是R且为奇函数【解答】解:当a=1时,y=x1的定义域是x|x0,且为奇函数;当a=1时,函数y=x的定义域是R且为奇函数;当a=时,函数y=的定义域是x|x0且为非奇非偶函数当a=3时,函数y=x的定义域是R且为奇函数故选A【点评】本题考查幂函数的性质和应用,解题时要熟练掌握幂函数的概念和性质5. 已知,则下列大小关系正确的是( )A B C. D参考答案:B因为,所以,选B6. 已知抛物线的焦点为F,过点F作互相垂直的两直线AB,CD与抛物线分别相交于A,B以及C,D,若,则四边形ACBD的面积的最小值为( )A18 B30 C32 D36参考答案:C由抛物线性质可知:,又,即设直线AB的斜率为k(k0),则直线CD的斜率为直线AB的方程为y=k(x1),联立,消去y得k2x2(2k2+4)x+k2=0,从而,=1,由弦长公式得|AB|=,以换k得|CD|=4+4k2,故所求面积为32(当k2=1时取等号),即面积的最小值为32故选:C7. 设,为坐标原点,若A、B、C三点共线,则的最小值是( )(A)2(B)4(C)6 (D)8参考答案:D略8. 下列说法中正确的是( ) A. 当时,函数是增函数,因为2l,所以函数是增函数这种推理是合情推理B. 在平面中,对于三条不同的直线,将此结论放到空间中也是如此这种推理是演绎推理C若分类变量X与Y的随机变量的观测值k越小,则两个分类变量有关系的把握性越小D. 参考答案:C9. 已知某地春天下雨的概率为40%.现采用随机模拟的方法估计未来三天恰有一天下雨的概率;先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示下雨,5,6,7,8,9,0表示不下雨;再以每三个随机数作为一组,代表未来三天是否下雨的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数:907,966,191,925,271,932,812,458,569,683,431,257,393,027,556,488,730,113,537,989.据此估计,该地未来三天恰有一天下雨的概率为( )A0.2 B0.25 C0.4 D0.35参考答案:C根据题意,表示未来三天是否下雨的结果,当未来三天恰有一天下雨,就是三个数字中只有一个数字在集合,考查这组数据,以下个数据符合题意,按次序分别为,其概率,故选C.10. 等差数列an中,若a3+a6+a9=12,则数列an的前11项和等于()A22B33C44D55参考答案:C【考点】等差数列的前n项和【分析】由等差数列an的性质可得:a3+a6+a9=12=3a6,可得a6再利用求和公式及其性质即可得出【解答】解:由等差数列an的性质可得:a3+a6+a9=12=3a6,可得a6=4则数列an的前11项和=11a6=44故选:C【点评】本题考查了等差数列的通项公式性质与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 九章算术卷5商功记载一个问题“今有圆堡瑽,周四丈八尺,高一丈一尺问积几何?答曰:二千一百一十二尺术曰:周自相乘,以高乘之,十二而一”这里所说的圆堡瑽就是圆柱体,它的体积为“周自相乘,以高乘之,十二而一”就是说:圆堡瑽(圆柱体)的体积为(底面圆的周长的平方高),则由此可推得圆周率的取值为 .参考答案:3由题意圆柱体的体积(底面圆的周长的平方高),解得12. 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人,并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图(如图),为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系,要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查,则在(2500,3000)(元)月收入段应抽出的人数为 参考答案:2513. 已知向量(,1),(3,2),若,则x_参考答案:14. 函数的定义域是_参考答案:15. 函数f(x)=sinxcosx的最小正周期为,f(x)的最小值是参考答案:,【考点】三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法【专题】计算题;函数思想;综合法;三角函数的求值【分析】化简可得f(x)=sin2x,由周期公式可得周期,由振幅的意义可得最小值【解答】解:化简可得f(x)=sinxcosx=sin2x,函数的最小正周期T=,当sin2x=1时,函数取最小值故答案为:;【点评】本题考查三角函数的周期性和最值,属基础题16. 已知函数的图象在处的切线方程是,则 .参考答案:3略17. 已知则_参考答案:略三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 在某校组织的“共筑中国梦”竞赛活动中,甲、乙两班各有6名选手参赛,在第一轮笔试环节中,评委将他们的笔试成绩作为样本数据,绘制成如图所示的茎叶图,为了增加结果的神秘感,主持人故意没有给出甲、乙两班最后一位选手的成绩,只是告诉大家,如果某位选手的成绩高于90分(不含90分),则直接“晋级”()求乙班总分超过甲班的概率()主持人最后宣布:甲班第六位选手的得分是90分,乙班第六位选手的得分是97分请你从平均分光和方差的角度来分析两个班的选手的情况;主持人从甲乙两班所有选手成绩中分别随机抽取2个,记抽取到“晋级”选手的总人数为,求的分布列及数学期望参考答案:【考点】离散型随机变量的期望与方差;频率分布直方图【分析】()先分别求出甲班前5位选手的总分和乙班前5位选手的总分,由此利用列举法能求出乙班总分超过甲班的概率()分别求出甲、乙两班平均分和方差,由此能求出甲班选手间的实力相当,相差不大,乙班选手间实力悬殊,差距较大的可能取值为0,1,2,3,4,分别求出相应的概率,由此能求出的分布列和E()【解答】解:()甲班前5位选手的总分为88+89+90+91+92=450,乙班前5位选手的总分为82+84+92+91+94=443,若乙班总分超过甲班,则甲、乙两班第六位选手的成绩可分别为:(90,98),(90,99),(91,99),共三个,乙班总分超过甲班的概率为p=()甲班平均分为=(88+89+90+91+92+90)=90,乙班平均数为=(82+84+92+91+94+97)=90,甲班方差为S2甲=(22+12+12+22)=,乙班方差为S2乙=(82+62+22+12+42+72)=,两班的平均分相同,但甲班选手的方差小于乙班,故甲班选手间的实力相当,相差不大,乙班选手间实力悬殊,差距较大的可能取值为0,1,2,3,4,P(=0)=,P(=1)=,P(=2)=,P(=3)=,P(=4)=,的分布列为:01234PE()=219. (12分)设是奇函数,是偶函数,并且参考答案:解析:为奇函数 为偶奇数从而 20. (12分)已知集合,集合,集合()设全集,求; ()若,求实数的取值范围参考答案:【知识点】交、并、补集的混合运算.A1 【答案解析】()()或解析:(),(),当时,当时,或,解得:,综上:实数的取值范围是或【思路点拨】(I)求出函数和y=ln(43xx2)的定义域A,B,集合交集,并集,补集的定义,可得答案()若C(?RA)=?,则C=?或C与?RA没有公共元素,即C?A,进而可得实数m的取值范围21. (本小题满分14分) 如图,矩形中,分别在线段和上,将矩形沿折起记折起后的矩形为,且平面平面 ()求证:平面; ()若,求证:; ()求四面体体积的最大值 参考答案:()略;()略;()2试题分析:()先证明四边形MNCD是平行四边形,利用线面平行的判定,可证 平面MFD;()连接ED,设 根据平面MNEF平面ECDF,且NEEF,可证NE平面ECDF,从而可得FCNE,进一步可证FC平面NED,利用线面垂直的判定,可得NDFC;()先表示出四面体NFEC的体积,再利用基本不等式,即可求得四面体NFEC的体积最大值试题解析:()法一:, , , 是平行四边形, , 平面, 法二: , 平面, , 平面, 平面平面, 平面. (),为正方形, , 又平面平面, 平面, , 平面, , () 设,则, 当时 , 达到最大值2 考点:线面垂直的性质、棱柱、棱锥、棱台的体积、线面平行的判定
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