辽宁省大连市铁路中学2020-2021学年高三数学理月考试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设，若函数，有大于零的极值点，则（ ）A B C D参考答案：B2. 若函数的导函数，则使得函数单调递减的一个充分不必要条件是( ) 参考答案：C3. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是棱上的点，则满足的点P的个数有（ ）A4B6 C8 D12参考答案：B4. 若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A15 B20 C 30 D60参考答案：C略5. 放射性元素一般都有一个半衰期（剩留量为最初质量的一半所需的时间）已知一种放射性元素的质量按每年10%衰减，那么这种放射性元素的半衰期是（）年（精确到0.1，已知lg2=0.3010，lg3=0.4771）A5.2B6.6C7.1D8.3参考答案：B【考点】等比数列的通项公式【分析】设这种放射性元素的半衰期为n，则（110%）n=0.5，取对数即可得出【解答】解：设这种放射性元素的半衰期为n，则（110%）n=0.5，即，n=6.6故选：B【点评】本题考查了等比数列的通项公式、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6. 设，分别为双曲线：的左、右焦点，为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线某条渐近线于、两点，且满足：，则该双曲线的离心率为（ ）A B C D参考答案：略7. 在抛物线y=x2+ax-5(a0)上取横坐标为的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x2+5y2=36相切，则抛物线的顶点坐标是（ ）（A） （B） （C） （D）参考答案：A 本题主要考查抛物线方程、直线的斜率、直线与抛物线、直线与圆的相切问题，同时考查分析和解决问题的逻辑思维能力、运算能力，难度中等 设平行于割线的直线与抛物线切于点，斜率为k，则切线方程为，又，所以，因为切线与过点、的割线平行，所以有，即，代入抛物线方程得。切线与圆相切，所以，由可得a=4,所以顶点为（-2，-9），选择A。8. 设函数与函数的图象恰有3个不同的交点，则实数a的取值范围为（ ）A. B. C. D. 参考答案：C令ax2= 得a2x3=|lnx+1|，显然a0，x0作出y=a2x3和y=|lnx+1|的函数图象，如图所示：设a=a0时，y=a2x3和y=|lnx+1|的函数图象相切，切点为（x0，y0），则 ，解得 当0a 时，y=a2x3和y=|lnx+1|的函数图象有三个交点故选：C9. 在区间1，2上任选两个数x，y，则y的概率为（）A2ln21B1ln2CDln2参考答案：A【考点】CF：几何概型【分析】由题意，本题是几何概型，利用变量对应区域的面积比求概率即可【解答】解：由题意，在区间1，2上任选两个数x，y，对应区域如图：面积为1，则y的区域面积为=2ln21，所以所求概率为=2ln21；故选A10. 设是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（ ）A.? B.C.? D.参考答案：B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知且则的值为_.参考答案：12. 若，则向量在向量方向上的投影为 . 参考答案： 13. 已知条件 不是等边三角形，给出下列条件： 的三个内角不全是 的三个内角全不是 至多有一个内角为 至少有两个内角不为则其中是的充要条件的是 .（写出所有正确结论的序号）参考答案：略14. 已知，则=_参考答案：略15. 在球心为，体积为的球体表面上两点、之间的球面距离为，则的大小为 . 参考答案：略16. 已知函数有零点，则的取值范围是 。参考答案：，有，得。当时，当时，所以当时，函数取得极小值，所以要使函数有零点，则有，即，即，所以的取值范围是。17. 对于，以点为中点的弦所在的直线方程是_ 参考答案：试题分析：，圆心为（1,0），故所求直线的斜率为，直线方程为即考点：直线方程三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （14分）在直三棱柱ABCA1B1C1中，CA=CB=CC1=2，ACB=90，E、F分别是BC、的中点。（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正切值。 参考答案：【答案解析】（1）见解析（2） 解析：（1）证：取CC1的中点M，连接ME，MF，则ME，MF，所以平面MEF平面，又EF平面MEF，EF平面7分 （也可以用线面平行的方法来求证）（2）解；过E做AB的垂线，交AB于点H，连接HF，则EFH即为所求之线面角.10分，14分【思路点拨】（1）取CC1的中点M，连接ME，MF，然后利用面面平行的性质定理可得线面平行；（2）过E做AB的垂线，交AB于点H，连接HF，则EFH即为所求之线面角，再求出其正切值即可.19. 某中学高二年级的甲、乙两个班中，需根据某次数学预赛成绩选出某班的5名学生参加数学竞赛决赛，已知这次预赛他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班5名学生成绩的平均分是83，乙班5名学生成绩的中位数是86(I) 求出x，y的值，且分别求甲、乙两个班中5名学生成绩的方差、，并根据结果，你认为应该选派哪一个班的学生参加决赛？(II)从成绩在85分及以上的学生中随机抽取2名求至少有1名来自甲班的概率参考答案：()x=5，y=6，应选甲班参加 ；() .解析：()甲班的平均分为，易知；又乙班的平均分为， ；，说明甲班同学成绩更加稳定，故应选甲班参加() 分及以上甲班有人，设为；乙班有人，设为，从这人中抽取人的选法有：，共种，其中甲班至少有名学生的选法有种，则甲班至少有名学生被抽到的概率为.略20. 如图，在直三棱柱中，为棱的中点，.（1）证明：平面；（2）设二面角的正切值为，求异面直线与所成角的余弦值.参考答案：（1）证明：取的中点，连接，侧面为平行四边形，为的中点，又，四边形为平行四边形，则.平面，平面，平面.（2）解：过作于，连接，则即为二面角的平面角.，.以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则，则，.，异面直线与所成角的余弦值为.21. 已知不等式.(1)当时，求不等式的解集；(2)若不等式的解集为R，求a的范围. 参考答案：（1）当时：不等式为:等价于：: 解得：:所以：不等式的解集为: （2）设函数=设函数过定点（0，-1）画出的图像， 由数形结合得的范围是22. （本小题满分10分）设p:函数的定义域为R; q:不等式,对(-,-1)上恒成立,如果命题“pq”为真命题,命题“pq”为假命题,求实数的取值范围.参考答案：