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广东省汕头市2021届新高考第二次质量检测数学试题一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1函数的定义域为( )A或B或CD【答案】A【解析】【分析】根据偶次根式被开方数非负可得出关于的不等式,即可解得函数的定义域.【详解】由题意可得,解得或.因此,函数的定义域为或.故选:A.【点睛】本题考查具体函数定义域的求解,考查计算能力,属于基础题.2复数(为虚数单位),则等于( )A3BC2D【答案】D【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,从而求得,然后直接利用复数模的公式求解.【详解】,所以,故选:D.【点睛】该题考查的是有关复数的问题,涉及到的知识点有复数的乘除运算,复数的共轭复数,复数的模,属于基础题目.3下列选项中,说法正确的是( )A“”的否定是“”B若向量满足 ,则与的夹角为钝角C若,则D“”是“”的必要条件【答案】D【解析】【分析】对于A根据命题的否定可得:“x0R,x02-x00”的否定是“xR,x2-x0”,即可判断出;对于B若向量满足,则与的夹角为钝角或平角;对于C当m=0时,满足am2bm2,但是ab不一定成立;对于D根据元素与集合的关系即可做出判断【详解】选项A根据命题的否定可得:“x0R,x02-x00”的否定是“xR,x2-x0”,因此A不正确;选项B若向量满足,则与的夹角为钝角或平角,因此不正确.选项C当m=0时,满足am2bm2,但是ab不一定成立,因此不正确;选项D若“”,则且,所以一定可以推出“”,因此“”是“”的必要条件,故正确.故选:D.【点睛】本题考查命题的真假判断与应用,涉及知识点有含有量词的命题的否定、不等式性质、向量夹角与性质、集合性质等,属于简单题.4由曲线yx2与曲线y2x所围成的平面图形的面积为()A1BCD【答案】B【解析】【分析】首先求得两曲线的交点坐标,据此可确定积分区间,然后利用定积分的几何意义求解面积值即可.【详解】联立方程:可得:,结合定积分的几何意义可知曲线yx2与曲线y2x所围成的平面图形的面积为:.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查定积分的概念与计算,属于中等题.5某几何体的三视图如图所示,其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形,则此几何体的体积是( )ABCD【答案】C【解析】由三视图可知,该几何体是下部是半径为2,高为1的圆柱的一半,上部为底面半径为2,高为2的圆锥的一半,所以,半圆柱的体积为,上部半圆锥的体积为,所以该几何体的体积为,故应选6在四面体中,为正三角形,边长为6,则四面体的体积为( )ABC24D【答案】A【解析】【分析】推导出,分别取的中点,连结,则,推导出,从而,进而四面体的体积为,由此能求出结果.【详解】解: 在四面体中,为等边三角形,边长为6,分别取的中点,连结,则,且,平面,平面,四面体的体积为:.故答案为:.【点睛】本题考查四面体体积的求法,考查空间中线线,线面,面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力.7设x、y、z是空间中不同的直线或平面,对下列四种情形:x、y、z均为直线;x、y是直线,z是平面;z是直线,x、y是平面;x、y、z均为平面.其中使“且”为真命题的是( )ABCD【答案】C【解析】【分析】举反例,如直线x、y、z位于正方体的三条共点棱时用垂直于同一平面的两直线平行判断.用垂直于同一直线的两平面平行判断.举例,如x、y、z位于正方体的三个共点侧面时.【详解】当直线x、y、z位于正方体的三条共点棱时,不正确; 因为垂直于同一平面的两直线平行,正确;因为垂直于同一直线的两平面平行,正确;如x、y、z位于正方体的三个共点侧面时, 不正确.故选:C.【点睛】此题考查立体几何中线面关系,选择题一般可通过特殊值法进行排除,属于简单题目.8已知函数,则( )A1B2C3D4【答案】C【解析】【分析】结合分段函数的解析式,先求出,进而可求出.【详解】由题意可得,则.故选:C.【点睛】本题考查了求函数的值,考查了分段函数的性质,考查运算求解能力,属于基础题.9用数学归纳法证明1+2+3+n2=n4+n22,则当n=k+1时,左端应在n=k的基础上加上( )Ak2+1Bk+12Ck2+1+k2+2+k+12Dk+14+k+122【答案】C【解析】【分析】首先分析题目求用数学归纳法证明1+1+3+n1=n4+n22时,当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上的式子,可以分别使得n=k,和n=k+1代入等式,然后把n=k+1时等式的左端减去n=k时等式的左端,即可得到答案【详解】当n=k时,等式左端=1+1+k1,当n=k+1时,等式左端=1+1+k1+k1+1+k1+1+(k+1)1,增加了项(k1+1)+(k1+1)+(k1+3)+(k+1)1故选:C【点睛】本题主要考查数学归纳法,属于中档题./10设不等式组,表示的平面区域为,在区域内任取一点,则点的坐标满足不等式的概率为ABCD【答案】A【解析】【分析】画出不等式组表示的区域,求出其面积,再得到在区域内的面积,根据几何概型的公式,得到答案.【详解】画出所表示的区域,易知,所以的面积为,满足不等式的点,在区域内是一个以原点为圆心,为半径的圆面,其面积为,由几何概型的公式可得其概率为,故选A项.【点睛】本题考查由约束条件画可行域,求几何概型,属于简单题.11若直线的倾斜角为,则的值为( )ABCD【答案】B【解析】【分析】根据题意可得:,所求式子利用二倍角的正弦函数公式化简,再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后,将代入计算即可求出值【详解】由于直线的倾斜角为,所以,则故答案选B【点睛】本题考查二倍角的正弦函数公式,同角三角函数间的基本关系,以及直线倾斜角与斜率之间的关系,熟练掌握公式是解本题的关键12设分别是双线的左、右焦点,为坐标原点,以为直径的圆与该双曲线的两条渐近线分别交于两点(位于轴右侧),且四边形为菱形,则该双曲线的渐近线方程为( )ABCD【答案】B【解析】【分析】由于四边形为菱形,且,所以为等边三角形,从而可得渐近线的倾斜角,求出其斜率.【详解】如图,因为四边形为菱形,所以为等边三角形,两渐近线的斜率分别为和.故选:B【点睛】此题考查的是求双曲线的渐近线方程,利用了数形结合的思想,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13已知边长为的菱形中,现沿对角线折起,使得二面角为,此时点,在同一个球面上,则该球的表面积为_.【答案】【解析】【分析】分别取,的中点,连接,由图形的对称性可知球心必在的延长线上,设球心为,半径为,由勾股定理可得、,再根据球的面积公式计算可得;【详解】如图,分别取,的中点,连接,则易得,由图形的对称性可知球心必在的延长线上,设球心为,半径为,可得,解得,.故该球的表面积为.故答案为:【点睛】本题考查多面体的外接球的计算,属于中档题.14若函数在和上均单调递增,则实数的取值范围为_【答案】【解析】【分析】化简函数,求出在上的单调递增区间,然后根据在和上均单调递增,列出不等式求解即可【详解】由知,当时,在和上单调递增,在和上均单调递增,的取值范围为:故答案为:【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质,关键是根据函数的单调性列出关于m的方程组,属中档题15已知是定义在上的奇函数,当时,则不等式的解集用区间表示为_【答案】【解析】设 ,则 ,由题意可得 故当 时, 由不等式 ,可得 ,或 求得 ,或 故答案为( 16已知等差数列的前项和为,且,则_.【答案】【解析】【分析】根据等差数列的性质求得,结合等差数列前项和公式求得的值.【详解】因为为等差数列,所以,解得,所以.故答案为:【点睛】本小题考查等差数列的性质,前项和公式的应用等基础知识;考查运算求解能力,应用意识.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17已知椭圆C:(ab0)的两个焦点分别为F1(,0)、F2(,0).点M(1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.(1)求椭圆C的方程;(2)已知点N的坐标为(3,2),点P的坐标为(m,n)(m3).过点M任作直线l与椭圆C相交于A、B两点,设直线AN、NP、BN的斜率分别为k1、k2、k3,若k1k32k2,试求m,n满足的关系式.【答案】(1);(2)mn10【解析】试题分析:(1)利用M与短轴端点构成等腰直角三角形,可求得b的值,进而得到椭圆方程;(2)设出过M的直线l的方程,将l与椭圆C联立,得到两交点坐标关系,然后将k1k3表示为直线l斜率的关系式,化简后得k1k32,于是可得m,n的关系式.试题解析:(1)由题意,c,b1,所以a故椭圆C的方程为(2)当直线l的斜率不存在时,方程为x1,代入椭圆得,y不妨设A(1,),B(1,)因为k1k32又k1k32k2,所以k21所以m,n的关系式为1,即mn10当直线l的斜率存在时,设l的方程为yk(x1)将yk(x1)代入,整理得:(3k21)x26k2x3k230设A(x1,y1),B(x2,y2),则又y1k(x11),y2k(x21)所以k1k32所以2k22,所以k21所以m,n的关系式为mn10综上所述,m,n的关系式为mn10.考点:椭圆标准方程,直线与椭圆位置关系,18已知数列an满足条件,且an+2(1)n(an1)+2an+1,nN*()求数列an的通项公式;()设bn,Sn为数列bn的前n项和,求证:Sn【答案】()()证明见解析【解析】【分析】()由an+2(1)n(an1)+2an+1,对分奇偶讨论,即可得;()由()得,用错位相减法求出,运用分析法证明即可.【详解】(),当为奇数时,又由,得,当为偶数时,又由a23,得,;()由(1)得,则-可得:,若证明Sn,则需要证明,又,即证明,即证,又显然成立,故Sn得证.【点睛】本题主要考查了由递推公式求通项公式,错位相减法求前项和,分析法证明不等式,考查了分类讨论的思想,考查了学生
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