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2020年河南省信阳市永和高级中学高二数学文下学期期末试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 在空间直角坐标系中,已知 , ,则 ( )A B C D 参考答案:B由空间中两点间的距离公式得 。2. 已知两个正实数x,y满足+=1,并且x+2ym22m恒成立,则实数m的取值范围是()A(2,4)B2,4C(,2)(4,+)D(,24,+)参考答案:B考点: 基本不等式专题: 不等式的解法及应用分析: 利用“乘1法”和基本不等式的性质可得x+2y的最小值,x+2ym22m恒成立?,即可得出解答: 解:两个正实数x,y满足+=1,x+2y=(x+2y)=4+4+2=8,当且仅当x=2y=4时取等号x+2ym22m恒成立,m22m8,解得2m4实数m的取值范围是2,4故选:B点评: 本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质、恒成立问题的等价转化方法,属于基础题3. 设条件p:实数m,n满足条件q:实数m,n满足,则p是q的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不是充分条件又不是必要条件参考答案:B4. 不等式(x2y1)(xy3)0表示的平面区域是( )参考答案:C5. 下列说法中正确的是()A、棱柱的面中,至少有两个面互相平行 B、 棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C、棱柱的一条侧棱的长叫做棱柱的高 D、棱柱的侧面是平行四边形,但它的底面一定不是平行四边形参考答案:A6. 如图,是圆心为,半径为1的圆内接正六边形,将一颗豆子随机地扔到该圆内,用表示事件“豆子落在正六边形内”,用表示事件“豆子落在扇形内(阴影部分)”,则( )A B C. D参考答案:C7. 设函数,若实数a、b满足,则( )A. B. C. D. 参考答案:A【详解】试题分析:对函数求导得,函数单调递增,由知,同理对函数求导,知在定义域内单调递增,由知,所以.考点:利用导数求函数的单调性.【方法点睛】根据函数单调性和导数的关系,对函数求导得,函数单调递增,进一步求得函数的零点;同理对函数求导,知在定义域内单调递增,由知的零点,所以g(a)lna+a23g(1)ln1+1320,f(b)eb+b2f(1)e+12e10即.8. 命题“,总有”的否定是 A. “,总有” B. “,总有” C. “,使得” D. “,使得”参考答案:D9. 已知直线和平面,则的一个必要非充分条件是( )A且 B且C且 D与所成角相等参考答案:D10. 定义在上的函数满足,已知,则是的( )条件A充分不必要 B必要不充分 C充分必要 D既不充分也不必要参考答案:C略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 直角坐标系,圆锥曲线的方程,为原点(如图)且曲线为椭圆,设、为两个焦点,点在曲线上(1)若焦点在轴上,可取_;(2)描述3(1)中椭圆至少两个几何特征:_;_(3)若,则的周长为_;(4)若是以为斜边的等腰直角三角形(如图2),则椭圆的离心率_参考答案:(1)(2)椭圆落在,围成的矩形中;图象关于轴,轴,原点对称(3)(4)(1)若方程表示焦点在轴上的椭圆,则,故可取(2)对于椭圆的几何性质有:的取值范围是,的取值范围是,椭圆位于直线,围成的矩形中;从图形上看:椭圆关于轴,轴,原点对称,既是轴对称图象,又是中心对称图形;椭圆的四个顶点分别是,离心率,长半轴长为,短半轴长为,焦距为等,任写两个几何特证即可(3)若,则椭圆的方程为,此时,由椭圆的定义可知,若在曲线上,则,故的周长为(4)若是以为斜边的等腰直角三角形,则,即,又,得,故,解得,又,故12. 圆心为且与直线相切的圆的方程是 . 参考答案:13. 在平面坐xOy中,双曲线=1的虚轴长是 ,渐近线方程是 参考答案:【考点】双曲线的简单性质【分析】利用双曲线方程,求解虚轴长与渐近线方程即可【解答】解:在平面坐xOy中,双曲线=1的虚轴长是:6;渐近线方程为:y=x故答案为:;14. 有一隧道,内设双行线公路,同方向有两个车道(共有四个车道),每个车道宽为3m,此隧道的截面由一个长方形和一抛物线构成,如图所示。为保证安全,要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少为,靠近中轴线的车道为快车道,两侧的车道为慢车道,则车辆通过隧道时,慢车道的限制高度为 (精确到)参考答案:4.3略15. 函数f(x)=(ln2)log2x5xlog5e(其中e为自然对数的底数)的导函数为 参考答案: 5x 16. 若双曲线的离心率为2,则m的值为 参考答案:3【考点】KC:双曲线的简单性质【分析】利用双曲线的离心率为2,建立等式,即可求实数m的值【解答】解:双曲线双曲线的离心率为2,1+m=4m=3故答案为:317. 若空间中两点分别为A(1,0,1),B(2,1,1),则|AB|的值为_参考答案:,三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 已知正项数列an首项为2,其前n项和为Sn,满足2SnSn-14 (nN*,n2)(1)求,的值;(2)求数列an的通项公式;(3)设 (nN*),数列bnbn2的前n项和为Tn,求证:Tn.参考答案:(1) ,;(2) .(3)见解析.【分析】(1)由递推条件取n=2,3可得.(2)由递推条件迭代,两式相减得到数列相邻两项的关系,判断为等比数列,可得通项公式.(3)利用裂项消去法对求和化简,可证不等式成立.【详解】(1),;(2) 由2SnSn-14,得2Sn-1Sn-24(nN*,n3),解得(nN*,n3),又,所以数列an是首项为2,公比为的等比数列故.(3)证明:因为,所以.故数列的前n项和.【点睛】本题考查数列通项与前n项和的求法,要求掌握通项与前n项和的关系,将进行裂项变形是求和的关键,考查计算能力,属于中档题.19. 已知曲线 ,一条长为8的弦AB的两个端点在H上运动,弦AB的中点为M,求距y轴最近的点M的坐标.参考答案:解析:曲线 为双曲线 的右支.这里 e2右准线l: 设 作 则 又双曲线右焦点 由双曲线第二定义得 代入得 当且仅当 ,即AB为焦点弦时等号成立.由 当且仅当弦AB通过焦点 时等号成立.注意到曲线H过焦点垂直于对称轴的弦长为68,故条件可以满足. 此时, , ,而 ,于是有因此由得,距y轴最近的点M的坐标为 .20. 在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为为参数),以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,两坐标系取相同的长度单位。曲线C的极坐标方程为 .(1)求l的普通方程和C的直角坐标方程;(2)已知点M是曲线C上任一点,求点M到直线l距离的最大值.参考答案:(1); ;(2)【分析】(1)消参数得的普通方程,根据得的直角坐标方程(2)根据直线与圆位置关系得最值.【详解】(1)因为,所以,即(2)因为圆心到直线距离为,所以点到直线距离的最大值为【点睛】本题考查参数方程化普通方程、极坐标方程化直角坐标方程以及直线与圆位置关系,考查综合分析求解能力,属中档题.21. 已知等比数列an的前n项和为Sn,若S1,2S2,3S3成等差数列,且S4=(1)求数列an的通项公式;(2)求证:Sn参考答案:【考点】数列的求和;等比数列的通项公式【分析】(1)根据S1,2S2,3S3成等差数列建立等式,求出q的值,然后根据等比数列的求和公式建立等式,可求出的首项,从而求出数列的通项;(2)运用等比数列的求和公式和不等式的性质,即可得证【解答】解:(1)设等比数列an的公比为q,S1,2S2,3S3成等差数列4S2=S1+3S3,即4(a1+a2)=a1+3(a1+a2+a3),a2=3a3,即q=,又S4=,=,解得a1=1,an=()n1;(2)证明:Sn=(1),即有Sn22. 求两个底面半径分别为1和4,且高为4的圆台的表面积及体积,写出该问题的一个算法,并画出流程图参考答案:算法设计如下:S1r11,r24,h4;S2l;S3S1r,S2r,S3(r1r2)l;S4SS1S2S3,V (S1S2)h;S5输出S和V.该算法的流程图如下:
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