2.2函数与方程及函数的应用-2-3-命题热点一命题热点二命题热点三函数零点的求解与判定【思考】 确定函数零点的常用方法有哪些?例1若函数 其中m0,则方程f(-f(x)=1的实数根的个数为()A.2 B.3C.4D.5 答案解析解析关闭 答案解析关闭-4-命题热点一命题热点二命题热点三题后反思确定函数零点的常用方法:(1)解方程判定法,方程易求解时用此法;(2)函数零点存在的判定定理法,常常要结合函数的性质、导数等知识;(3)数形结合法,如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角式等较复杂的函数零点问题,常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解.-5-命题热点一命题热点二命题热点三对点训练 1函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为()A.1B.2C.3D.4 答案解析解析关闭 答案解析关闭-6-命题热点一命题热点二命题热点三函数零点的应用【思考】 如何由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围?例2已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.-7-命题热点一命题热点二命题热点三解: (1)f(x)的定义域为(-,+),f(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1).()若a0,则f(x)0,则由f(x)=0得x=-ln a.当x(-,-ln a)时,f(x)0,所以f(x)在区间(-,-ln a)单调递减,在区间(-ln a,+)单调递增.(2)()若a0,由(1)知,f(x)至多有一个零点.()若a0,由(1)知,当x=-ln a时,f(x)取得最小值,最小值为f(-ln a)=1- +ln a.当a=1时,由于f(-ln a)=0,故f(x)只有一个零点;当a(1,+)时,由于1- +ln a0,即f(-ln a)0,故f(x)没有零点;-8-命题热点一命题热点二命题热点三-9-命题热点一命题热点二命题热点三题后反思解决由函数零点(方程根)的存在情况求参数的值或取值范围问题,关键是利用函数方程思想或数形结合思想,构建关于参数的方程或不等式求解.对于存在函数的零点求参数取值范围的问题,可通过分离参数,转化为求函数的最值问题.-10-命题热点一命题热点二命题热点三对点训练 2(2018全国,理9)已知函数 g(x)=f(x)+x+a,若g(x)存在两个零点,则a的取值范围是()A.-1,0)B.0,+)C.-1,+)D.1,+)C 解析 要使得方程g(x)=f(x)+x+a有两个零点,等价于方程f(x)=-x-a有两个实根,即函数y=f(x)的图象与直线y=-x-a有两个交点,由图象可知,必须使得直线y=-x-a与直线y=-x+1重合或位于直线y=-x+1的下方,所以-a1,即a-1.故选C.-11-命题热点一命题热点二命题热点三函数的实际应 用【思考】 应用函数模型解决实际问题的一般程序是怎样的?例3某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r m,高为h m,体积为V m3.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率).(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.-12-命题热点一命题热点二命题热点三解：(1)因为蓄水池侧面的总成本为1002rh=200rh(元),底面的总成本为160r2元,所以蓄水池的总成本为(200rh+160r2)元.又根据题意200rh+160r2=12 000,-13-命题热点一命题热点二命题热点三题后反思应用函数模型解决实际问题:首先,要正确理解题意,将实际问题化为数学问题;其次,利用数学知识如函数、导数、不等式(方程)解决数学问题;最后,回归到实际问题的解决上.其一般程序为-14-命题热点一命题热点二命题热点三对点训练 3某食品的保鲜时间y(单位:h)与储藏温度x(单位:)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 的保鲜时间是192 h,在22 的保鲜时间是48 h,则该食品在33 的保鲜时间是 h. 答案解析解析关闭 答案解析关闭-15-规律总结拓展演练1.在求方程解的个数或者根据解的个数求方程中的参数的取值范围问题时,数形结合是基本的解题方法,即首先把方程分拆为一个等式,使两端都转化为我们所熟悉的函数的解析式,然后构造两个函数f(x),g(x),即把方程写成f(x)=g(x)的形式,这时方程根的个数就是两个函数图象交点的个数,可以根据图象的变化趋势找到方程中字母参数所满足的各种关系.2.二次函数y=a(x-h)2+k(a0),xp,q的最值问题实际上是函数在p,q上的单调性问题.常用方法:(1)注意是“轴动区间定”,还是“轴定区间动”,找出分类的标准;(2)利用导数知识,最值可以在端点和极值点处寻找.3.f(x)0在p,q上恒成立问题,等价于f(x)min0,xp,q.-16-规律总结拓展演练1.下列函数中,既是偶函数又存在零点的是()A.y=ln xB.y=x2+1C.y=sin xD.y=cos x 答案解析解析关闭y=ln x既不是奇函数也不是偶函数;y=x2+1是偶函数,但不存在零点,不满足要求;y=sin x是奇函数不满足要求;y=cos x是偶函数,由其图象可知有无数个零点.故选D. 答案解析关闭D-17-规律总结拓展演练2.函数f(x)=2x-x- 的一个零点所在的区间是()A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4) 答案解析解析关闭 答案解析关闭-18-规律总结拓展演练3.某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是 ()(参考数据:lg 1.120.05,lg 1.30.11,lg 20.30)A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年 答案解析解析关闭 答案解析关闭-19-规律总结拓展演练4. 已知函数 其中m0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是. 答案解析解析关闭 答案解析关闭