2022年山东省临沂市平邑街道第一中学高三数学理联考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数的导函数的图象如右图所示，则函数的图象可能是参考答案：D由导函数图象可知当时，函数递减，排除A,B.又当时，取得极小值，所以选D.2. 若函数在区间单调递增，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.参考答案：D略3. 设函数f（x）是定义在（0，+）上的可导函数，其导函数为f（x），且有2xf（x）+x2f（x）0，则不等式（x2014）2f（x2014）4f（2）0的解集为（）A（2012，+）B（0，2012）C（0，2016）D（2016，+）参考答案：D【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】先构造函数g（x）=x2f（x），再根据导数和函数的单调性的关系得到g（x）在（0，+）为增函数，由（x2014）2f（x2014）4f（2）0得到g（x2014）g（2）根据函数的单调性即可求出答案【解答】解：令g（x）=x2f（x），g（x）=2xf（x）+x2f（x），2f（x）+x2f（x）0，g（x）0，在（0，+）恒成立，g（x）在（0，+）为增函数，（x2014）2f（x2014）4f（2）0，（x2014）2f（x2014）4f（2），g（2）=4f（2），g（x2014）g（2），解得x2016，故选D【点评】本题考查函数的单调性与导数的关系，两个函数乘积的导数的求法，而构造函数是解本题的关键4. 复数（i是虚数单位）的虚部为 （ ） A-1 B0 C1 D2参考答案：C略5. 已知集合A=x|1x2，B=x|0x3，则AB=（）A（1，3）B（1，0）C（0，2）D（2，3）参考答案：A【考点】并集及其运算【专题】集合【分析】根据集合的基本运算进行求解即可【解答】解：A=x|1x2，B=x|0x3，AB=x|1x3，故选：A【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础6. “”是“”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D即不充分也不必要条件参考答案：A7. 已知双曲线的离心率为2，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点，点P为线段MN上的动点，当取得最小值和最大值时，的面积分别为S1，S2，则（ ）A. 4B. 8C. D. 参考答案：A【分析】根据离心率公式和双曲线方程的a，b，c的关系，可知，根据题意表示出点p和m的取值范围，利用平面向量数量积的坐标表示得关于m的一元二次函数，问题转化为求在给定区间内二次函数的最大值与最小值，进而问题得解.【详解】由，得，故线段所在直线的方程为，又点在线段上，可设，其中，由于，即，得，所以由于，可知当时，取得最小值，此时，当时，取得最大值，此时，则故选A.【点睛】本题考查了平面向量在解析几何中应用，涉及了双曲线的简单性质，平面向量的数量积表示，二次函数在给定区间的最值问题；关键是利用向量作为工具，通过运算脱去“向量外衣”，将曲线上的点的坐标之间的关系转化为函数问题，进而解决距离、夹角、最值等问题.8. 下列函数中周期为且为偶函数的是( )A B. C. D参考答案：A略9. 已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与 的一个交点，若，则=A B C D 参考答案：B10. 已知函数，若对恒成立，且，则函数的单凋递减区间是( ) A. B C. D. 参考答案：A略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在边长为2的正中，则 参考答案：12. 若，满足约束条件，则的最小值为_参考答案：13. 一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工 参考答案：1014. 有四个城市，它们各有一个著名的旅游点依此记为把和分别写成左、右两列，现在一名旅游爱好者随机用4条线把左右全部连接起来，构成“一一对应”，如果某个旅游点是与该旅游点所在的城市相连的（比如与相连）就得2分，否则就得0分；则该爱好者得分的数学期望为 参考答案：2分略15. 公差不为0的等差数列的前n项和，若成等比数列，则 .参考答案：1916. 若关于x的函数f（x）=（t0）的最大值为M，最小值为N，且M+N=4，则实数t的值为 参考答案：2【考点】函数的最值及其几何意义 【专题】函数的性质及应用【分析】由题意f（x）=t+g（x），其中g（x）=是奇函数，从而2t=4，即可求出实数t的值【解答】解：由题意，f（x）=t+，显然函数g（x）=是奇函数，函数f（x）最大值为M，最小值为N，且M+N=4，Mt=（Nt），即2t=M+N=4，t=2，故答案为：2【点评】本题考查函数的最大值、最小值，考查函数是奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题17. 已知实数满足，若的最大值为则参考答案：9三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 【选修45：不等式选讲】已知，不等式的解集为.(1)求;(2)当时，证明：. 参考答案：略19. 如图，已知菱形与等腰所在平面相互垂直. 为PB中点 （）求证：平面ACE；（）求二面角的余弦值参考答案：证：（I）. 连结BD，设BD交AC于M点，连结ME.2分在平行四边形ABCD中，AC，BD相互平分，即DM=BM，又PE=BE在中，.6分解：（II）. 过D作DO垂直BA延长线与O点，连结PO，易得DO，PO，BO两两垂直建立如图坐标系，设AB=2，则.10分（注：每对一个给1分）设面BCE的一个法向量为，面DCE的一个法向量，则.12分（注：每对一个给1分）14分二面角的余弦值为.15分20. （10分）（2015秋?福建月考）设an是等差数列，bn是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b3=9，a5+b5=25（）求an，bn的通项公式；（）求数列an，bn的前n项和Sn和Tn参考答案：【考点】数列的求和 【专题】等差数列与等比数列【分析】（）通过将各项均用首项和公差（公比）表示出来，然后联立方程组，计算即得公差、公比，进而可得结论；（2）通过（1），利用等差、等比数列的求和公式计算即得结论解：（）a1=b1=1，a3+b3=9，a5+b5=25，整理得：q42q28=0，解得：q2=4或q2=2（舍），又数列bn是各项都为正数的等比数列，q=2，d=2，an=2n1，；（2）由（1）可知Sn=n2，Tn=2n1【点评】本题考查数列的通项及前n项和，注意解题方法的积累，属于基础题21. 已知函数（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）求证：函数f(x)有且只有一个零点参考答案：（1）；（2）详见解析【分析】（1）对函数进行求导，求出切线的斜率和切点坐标，即可得答案；（2）函数的定义域为，要使函数有且只有一个零点，只需方程有且只有一个根，即只需关于x的方程在上有且只有一个解，利用导数可得函数在单调递增，再利用零点存在定理，即可得答案；【详解】（1）当时，函数， ，所以函数在点处的切线方程是（2）函数的定义域为，要使函数有且只有一个零点，只需方程有且只有一个根，即只需关于x的方程在上有且只有一个解设函数， 则， 令，则， 由，得 x单调递减极小值单调递增由于， 所以，所以在上单调递增， 又， 当时， ，函数在有且只有一个零点，当时，由于，所以存在唯一零点综上所述，对任意的函数有且只有一个零点【点睛】本题考查导数的几何意义、利用导数证明函数的零点个数，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意对函数进行二次求导的运用.22. （本小题满分13分）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.（）用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；（）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率.参考答案：本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.满分13分.（）解：因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为，故，从而.所以，随机变量X的分布列为X0123P随机变量X的数学期望.（）解：设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为Y，则，且.由题意知事件与互斥，且事件与，事件与均相互独立，从而由（）知.