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广东省河源市黄田中学2022年高二数学理联考试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 已知函数的导数的最大值为5,则在函数图像上的点处的切线方程是( ).A B. C. D. 参考答案:B略2. 若曲线在处的切线,也是的切线,则( )A. 1B. 1C. 2D. 参考答案:C【分析】求出的导数,得切线的斜率,可得切线方程,再设与曲线相切的切点为(m,n),得的导数,由导数的几何意义求出切线的斜率,解方程可得m,n,进而得到b的值【详解】函数的导数为yex,曲线在x0处的切线斜率为k=1,则曲线在x0处的切线方程为y1x;函数的导数为y,设切点为(m,n),则1,解得m1,n2,即有2ln1+b,解得b2故选:A【点睛】本题主要考查导数的几何意义,求切线方程,属于基础题3. 设抛物线上一点到轴的距离是4,则点到该抛物线焦点的距离是( )A. 6 B. 4 C.8 D.12参考答案:A4. (2016?栖霞市校级模拟)已知命题p:对任意xR,总有3x0;命题q:“x2”是“x4”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是()ApqBpqCpqDpq参考答案:B【考点】复合命题的真假【专题】转化思想;函数的性质及应用;简易逻辑【分析】先判断命题p与q的真假,再利用复合命题真假的判定方法即可判断出结论【解答】解:对于命题p:对任意xR,总有3x0,因此命题p是假命题;命题q:“x2”是“x4”的必要不充分条件,因此命题q是假命题因此命题p与q都是真命题则下列命题为真命题的是(p)(q)故选:B【点评】本题考查了复合命题真假的判定方法、指数函数的单调性、不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题5. 准线方程为x=3的抛物线的标准方程为 ( )Ay2=6x By2=6x Cy2=12x Dy2=12x 参考答案:C6. 用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字,并且比20000大的五位偶数共有( )A.48个 B.36个 C.24个 D.18个参考答案:B7. 已知函数f(x)=ax33x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x00,则a的取值范围是()A(2,+)B(1,+)C(,2)D(,1)参考答案:C【考点】利用导数研究函数的单调性;函数零点的判定定理;利用导数研究函数的极值【分析】(i)当a=0时,f(x)=3x2+1,令f(x)=0,解得x=,两个解,舍去(ii)当a0时,f(x)=3ax26x=3ax(x),令f(x)=0,解得x=0或对a分类讨论:当a0时,由题意可得;当a0时,推出极值点不满足题意,推出结果即可【解答】解:(i)当a=0时,f(x)=3x2+1,令f(x)=0,解得x=,函数f(x)有两个零点,舍去(ii)当a0时,f(x)=3ax26x=3ax(x),令f(x)=0,解得x=0或当a0时,0,当x或x0时,f(x)0,此时函数f(x)单调递减;当x0时,f(x)0,此时函数f(x)单调递增是函数f(x)的极小值点,0是函数f(x)的极大值点函数f(x)=ax33x2+1存在唯一的零点x0,且x00,则:,即:,可得a2当a0时,0,当x或x0时,f(x)0,此时函数f(x)单调递增;当0x时,f(x)0,此时函数f(x)单调递减是函数f(x)的极小值点,0是函数f(x)的极大值点不满足函数f(x)=ax33x2+1存在唯一的零点x0,且x00,综上可得:实数a的取值范围是(,2)故选:C8. 以下四个命题中,正确的是 ( )A. 若,则三点共线B. 若 a , b , c 为空间的一个基底,则 a+b , b+c ,c+a 构成空间的另一个基底C. |(ab)c|=|a|b|c|D. 为直角三角形的充要条件是参考答案:B略9. 已知函数的导函数为,且满足,则( )A0 B6 C D30参考答案:B略10. 已知x、y满足约束条件, 则的最小值为( )A. 15 B. 20 C. 25 D. 30 参考答案:A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 与圆关于直线l:对称的圆的标准方程为_参考答案:【分析】先求出圆C的圆心和半径,可得关于直线l:x+y10对称的圆的圆心C的坐标,从而写出对称的圆的标准方程【详解】圆圆心,设点C关于直线l:对称的点则有,即,解得,半径为,则圆C关于直线l:对称的圆的标准方程为,故答案为:【点睛】本题主要考查圆的标准方程,点关于直线对称的性质,关键是利用垂直平分求得点关于直线的对称点,属于中档题12. f(x)x312x8在3,3上的最大值为M,最小值为m,则Mm_.参考答案:略13. 不等式x2x20的解集是参考答案:x|x2或x1考点: 一元二次不等式的解法专题: 计算题分析: 先将一元二次不等式进行因式分解,然后直接利用一元二次不等式的解法,求解即可解答: 解:不等式x2x20化为:(x2)(x+1)0,解得x2或x1所以不等式的解集为:x|x2或x1;故答案为:x|x2或x1点评: 本题是基础题,考查一元二次不等式的解法,考查计算能力,属于基础题14. 若实数x, y满足约束条件,则的最小值为 参考答案:5 15. 如右图所示,在圆心角为的扇形中,以圆心O作为起点作射线,则使的概率为_参考答案: 略16. 若数列an前n项和,则a6= 参考答案:11【考点】数列递推式【专题】计算题;函数思想;数学模型法;等差数列与等比数列【分析】由已知,直接利用a6=S6S5求得答案【解答】解:由,得故答案为:11【点评】本题考查数列递推式,训练了由数列的前n项和求数列的项的方法,是基础题17. 直线y2x3被圆x2y26x8y0所截得的弦长等于_参考答案:三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=a,又PA平面ABCD,PA=4BQ=t(1)若在边BC上存在一点Q,使PQQD,求a与t关系;(2)在(1)的条件下求a的取值范围;(3)(理科做,文科不做)当边BC上存在唯一点Q,使PQQD时,求二面角APDQ的余弦值参考答案:【考点】二面角的平面角及求法【专题】空间角【分析】(1)利用直角三角形的勾股定理得到a,t的关系;(2)利用(1)的结论结合基本不等式求a的范围;(3)由()知,当t=2,a=4时,边BC上存在唯一点Q(Q为BC边的中点),使PQQD过Q作QMCD交AD于M,则QMAD得到平面角MNQ是二面角APDQ的平面角,结合直角三角形的余弦求之【解答】解:(1)如图,连接AQ,由于PA平面ABCD,则由PQQD,必有AQDQ设,则CQ=at,在直角三角形MBQ中中,有AQ=在RtCDQ中,有DQ= (4分)在RtADQ中,有AQ2+DQ2=AD2即t2+4+(at)2+4=a2,即t2at+4=0(2)由(1)得a=t+4故a的取值范围为4,+)(3)由()知,当t=2,a=4时,边BC上存在唯一点Q(Q为BC边的中点),使PQQD过Q作QMCD交AD于M,则QMADPA平面ABCD,PAQMQM平面PAD过M作MNPD于N,连结NQ,则QNPDMNQ是二面角APDQ的平面角在等腰直角三角形PAD中,可求得MN=,又MQ=2,进而NQ=cosMNQ=故二面角APDQ的余弦值为【点评】本题考查了直角三角形的勾股定理以及二面角的平面角求法,关键在正确找出平面角,属于中档题19. 袋中有大小相同的红、黄两种颜色的球各1个,从中任取1只,有放回地抽取3次求:(1)3只全是红球的概率;(2)3只颜色全相同的概率;(3)3只颜色不全相同的概率。 参考答案:20. 设是二次函数,方程有两个相等的实根,且.(1)求的表达式;(2)若直线,把的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分,求的值.参考答案:(I)设,则 由已知,得, 又方程有两个相等的实数根,即故; (II)依题意,得,整理,得,即, 21. (本小题满分12分)设函数.(1)求的单调区间;(2)若当时,不等式恒成立,求实数的取值范围;(3)试讨论关于的方程:在区间上的根的个数.参考答案:解 :(1)函数的定义域为. 由得; 2分 由得, 3分则增区间为,减区间为. 4分(2)令得,由(1)知在上递减,在上递增, 6分由,且, 8分时,的最大值为,故时,不等式恒成立. 9分(3)方程即.记,则.由得;由得.所以g(x)在0,1上递减,在1,2上递增.而g(0)=1,g(1)=2-2ln2,g(2)=3-2ln3,g(0)g(2)g(1) 10分所以,当a1时,方程无解;当3-2ln3a1时,方程有一个解,当2-2ln2aa3-2ln3时,方程有两个解;当a=2-2ln2时,方程有一个解;当a2-2ln2时,方程无解. 13分字上所述,a时,方程无解;
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