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2020年山西省吕梁市刘家垣中学高二数学理联考试卷含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 不等式的解集是( )AB C D参考答案:C 2. 某几何体的三视图如下图所示,则该几何体的体积为( )A. 2B. 6C. 10D. 24参考答案:B【分析】根据三视图,画出原空间几何体,即可求得几何体的体积。【详解】由三视图,可得原空间几何体的结构图如下图所示:该几何体底面为直角梯形,根据各线段长度可得体积为 所以选B【点睛】本题考查了由三视图还原空间结构体的应用,棱柱体积的求法,属于中档题。3. 命题“若x+y=1,则xy1”的否命题是()A若x+y=1,则xy1B若x+y1,则xy1C若x+y1,则xy1D若xy1,则x+y1参考答案:C【考点】四种命题【分析】根据已知中的原命题,结论否命题的定义,可得答案【解答】解:命题“若x+y=1,则xy1”的否命题是命题“若x+y1,则xy1”,故选C【点评】本题考查的知识点是四种命题,难度不大,属于基础题4. 空间直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(3,1,0),B(-1,3,0),若点C满足=+,其中,R,+=1,则点C的轨迹为 A、平面 B、直线 C、圆 D、线段参考答案:B5. 若函数的导函数为,则( )A. 1B. C. D. 0参考答案:C【分析】根据函数的求导法则,代入即可求得导数值.【详解】由题:函数的导函数为,所以.故选:C【点睛】此题考查求导数值,关键在于熟练掌握求导法则和常见函数的导函数,根据法则准确计算求解.6. 若, ,则p是q的 ( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案:A7. 椭圆的短轴长为2,长轴是短轴的2倍,则椭圆的中心到其准线的距离是A B C D 参考答案:解析:D易错原因:短轴长误认为是8. 命题“?x0R,使得x22x30成立”的否定形式是()A?x0R,使得x22x30成立B?x0R,使得x22x30成立C?xR,x22x30恒成立D?xR,x22x30恒成立参考答案:D【考点】命题的否定【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可【解答】解:命题是特称命题,则命题的否定是全称命题,即?xR,x22x30恒成立,故选:D9. 已知函数=( )A B C2 D2 参考答案:B10. 10名工人某天生产同一种零件,生产的件数分别是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平均数为a,中位数为b,众数为c,则有()Aabc BbcaCcab Dcba参考答案:D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 顶点在原点,对称轴是坐标轴,且焦点在直线2x+y2=0上的抛物线方程是参考答案:y2=4x或x2=8y【考点】抛物线的标准方程【分析】求出已知直线与坐标轴的交点A和B,在焦点分别为A和B的情况下设出抛物线标准方程,对照抛物线焦点坐标的公式求待定系数,即可得到相应抛物线的方程【解答】解:直线2x+y2=0交x轴于点A(1,0),与y轴交于点B(0,2);当抛物线的焦点在A点时,设方程为y2=2px,可得2p=4,抛物线方程为y2=4x;当抛物线的焦点在B点时,设方程为x2=2py,可得2p=8,抛物线方程为x2=8y综上所述,抛物线方程为y2=4x或x2=8y故答案为:y2=4x或x2=8y12. 在空间直角坐标系中, 点P的坐标为(1, ),过点P作yOz平面的垂线PQ, 则垂足Q的坐标是_参考答案:(0, )13. 给定下列命题:“若k0,则方程x2+2xk=0有实数根”的逆否命题;“若A=B,则sinA=sinB”的逆命题;“若2”的逆否命题;“若xy=0,则x,y中至少有一个为零”的否命题“若”的逆命题其中真命题的序号是 参考答案:【考点】命题的真假判断与应用【专题】转化思想;简易逻辑【分析】由方程x2+2xk=0有实数根,则=4+4k0,解得k的范围,即可判断出真假,进而判断出其逆否命题具有相同的真假性;原命题的逆命题为“若sinA=sinB,则A=B”,举例:取A=2,B=,即可判断出真假;由,可得ba0,可得b2ab,即可判断出真,进而其逆否命题具有相同的真假性;原命题的逆命题为:“若x,y中至少有一个为零,则xy=0”是真命题,进而得到原命题的否命题具有相同的真假性原的逆命题为“若ab0,则”,举例:取a=2,b=1,210,即可判断出真假【解答】解:由方程x2+2xk=0有实数根,则=4+4k0,解得k1,因此“若k0,则方程x2+2xk=0有实数根”是真命题,其逆否命题也是真命题; “若A=B,则sinA=sinB”的逆命题为“若sinA=sinB,则A=B”,是假命题例如:取A=2,B=;由,可得ba0,b2ab,因此“若2”是真命题,其逆否命题也是真命题;“若xy=0,则x,y中至少有一个为零”的逆命题为:“若x,y中至少有一个为零,则xy=0”是真命题,因此原命题的否命题也是真命题“若”的逆命题为“若ab0,则”是假命题,例如:取a=2,b=1,210,但是其中真命题的序号是 故答案为:【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、命题之间真假性的关系、不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题14. 已知(0,),(,),cos ,sin(),则cos 参考答案:【分析】利用的取值范围和,求得的值,然后结合两角和与差的余弦函数公式来求的值.【详解】,解得,故答案为.【点睛】三角函数求值有三类,(1)“给角求值”:一般所给出的角都是非特殊角,从表面上来看是很难的,但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系,解题时,要利用观察得到的关系,结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解(2)“给值求值”:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”,使其角相同或具有某种关系(3)“给值求角”:实质是转化为“给值求值”,先求角的某一函数值,再求角的范围,确定角15. 已知数列的通项公式,则取最小值时= .参考答案:1816. 曲线在点P(1,1)处的切线方程是参考答案:yx;略17. 小明通过英语四级测试的概率为,他连续测试3次,那么其中恰有一次获得通过的概率 _.参考答案:三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. (本小题满分12分)下左图,已知平面,平面,为等边三角形,为的中点.(1)求证:平面;(2)求证:平面平面;(3)求直线和平面所成角的正弦值.参考答案:解: 设,建立如图所示的坐标系,则.为的中点,. 2分(1)证:, ,平面,平面. 5分(2)证:, ,. 平面,又平面,平面平面. 8分 (3)解:设平面法向量为,由可得: ,取. 又,设和平面所成的角为,则 .直线和平面所成角的正弦值为. 12分略19. (本题满分13分)已知椭圆的左、右焦点分别为、,过的直线交椭圆于、两点,过的直线交椭圆于、两点,且,垂足为(1)设点的坐标为,求的最值;(2)求四边形的面积的最小值参考答案:解析:()由已知得(,),(,),满足,1分, 2分它的最小值为,最大值为 3分 ()若直线的斜率存在且不为,因,直线的方程为,直线的方程为 4分联立和,消去得:,设,则,=; 7分联立和,消去得:,设,则, =; 9分=,当时等号成立 11分当为0或不存在时,; 12分综上,四边形的面积的最小值为 13分20. (本小题共14分)已知四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形,PA平面ABCD,AP=AD=1,AB=2,E、F分别是AB、PD的中点.(1)求证:AF/平面PEC;(2)求PC与平面ABCD所成角的正切值;参考答案:解法一:(1)取PC的中点O,连结OF、OE.,且 又E是AB的中点,且AB=DC,FO=AE.四边形AEOF是平行四边形. AF/OE.4分又平面PEC,平面PEC,AF/平面PEC.7分(2)连结AC. PA平面ABCD,PCA是直线PC与平面ABCD所成的角.10分在中 即直线PC与平面ABCD所成角的正切值为14分21. 已知函数x24xa3,g(x)mx52m()若yf(x)在1,1上存在零点,求实数a的取值范围;()当a0时,若对任意的x11,4,总存在x21,4,使f(x1)g(x2)成立,求实数m的取值范围;()若函数yf(x)(xt,4)的值域为区间D,是否存在常数t,使区间D的长度为72t?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由(注:区间p,q的长度为qp)参考答案:解析:():因为函数x24xa3的对称轴是x2,所以在区间1,1上是减函数,因为函数在区间1,1上存在零点,则必有:即,解得,故所求实数a的取值范围为8,0 ()若对任意的x11,4,总存在x21,4,使f(x1)g(x2)成立,只需函数yf(x)的值域为函数yg(x)的值域的子集x
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