北京第七十九中学2021年高三数学理期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若全集，则等于（ ）ABCD参考答案：【知识点】交集及其运算. A1【答案解析】D 解析：全集U=1，2，3，4，5，6，M=2，3，N=1，4，MN=1，2，3，4，则（?UM）（?UN）=?U（MN）=5，6故选：D【思路点拨】根据M，N，以及全集U，确定出所求集合即可2. P是所在平面内一点，若，则P是的（ ）A外心B垂心 C重心D内心参考答案：B3. （5分）已知集合M=x|x3，N=x|log2x1，则MN=（）ABx|0x3Cx|1x3Dx|2x3参考答案：DN=x|log2x1=x|x2，用数轴表示可得答案D故选D4. 已知命题p1：函数y=2x2x在R为增函数，p2：函数y=2x+2x在R为减函数，则在命题q1：p1p2，q2：p1p2，q3：（p1）p2和q4：p1（p2）中，真命题是( )Aq1，q3Bq2，q3Cq1，q4Dq2，q4参考答案：C【考点】复合命题的真假；指数函数与对数函数的关系 【专题】简易逻辑【分析】先判断命题p1是真命题，P2是假命题，故p1p2为真命题，（p2）为真命题，p1（p2）为真命题【解答】解：易知p1是真命题，而对p2：y=2xln2ln2=ln2（），当x0，+）时，又ln20，所以y0，函数单调递增；同理得当x（，0）时，函数单调递减，故p2是假命题由此可知，q1真，q2假，q3假，q4真故选C【点评】只有p1与P2都是真命题时，p1p2才是真命题只要p1与p2中至少有一个真命题，p1p2就是真命题5. 已知等差数列an的前n项和为Sn，且S10=，则a5+a6=（）AB12C6D参考答案：D【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式【分析】利用微积分基本定理、等差数列的通项公式与求和公式及其性质即可得出【解答】解：S10=dx+=+1=1=5（a5+a6），解得a5+a6=，故选：D【点评】本题考查了微积分基本定理、等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题6. 已知集合，则等于 A. 1,6 B. (1,6 C. 1,+) D.2,3 参考答案：B7. 已知函数满足，且的导函数，则的解集为A. B. C. D. 参考答案：D设,则，对任意，有，即函数在R上单调递减，则的解集为，即的解集为，选D.8. 某几何体的三视图如图所示，设正方形的边长为a，则该三棱锥的表面积为（ ）ABCD参考答案：D如图所示，该几何体是正方体的内接正三棱锥，所以三棱锥的棱长为，因此此几何体的表面积故选D9. 在的展开式中,常数项为15,则的一个值可以是 ( )A. 3 B. 4C. 5 D. 6参考答案：答案：D10. 已知为R上的可导函数，且均有（x），则有 （ ） A B C D参考答案：D略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知向量/，则=_参考答案：略12. 全称命题“?xR，x2+x+30”的否定是参考答案：?xR，有x2+x+30考点： 命题的否定专题： 阅读型分析： 利用含量词的命题的否定形式写出命题的否定解答： 解：“?xR，x2+x+30”的否定是?xR，有x2+x+30故答案为?xR，有x2+x+30点评： 本题考查含量词的命题的否定形式13. 直线yxb与5x3y310的交点在第一象限，则b的取值范围是_参考答案：略14. 若要使函数在上是减函数，则实数的取值范围是_.参考答案：15. 在ABC中，已知B=45，,则A= 参考答案：75或15略16. 已知函数，记（），若an是递减数列，则实数t的取值范围是_参考答案：【分析】要使函数时单调递减，则，解得t，要使函数单调递减，则必须满足，解得t，又函数在时单调递减，则，解得t，联立解得即可。【详解】由题得在单调递减，则有，解得，同理在单调递减，则有，又函数在时单调递减，则有，解得，故.【点睛】本题考查利用函数单调性求分段函数中的参数范围，需要注意分段点也要满足题意。17. 已知四棱锥的所有侧棱长都相等，底面为正方形，若四棱锥的高为，体积为，则这个四棱锥的外接球的体积为 参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. (12分）某班同学利用国庆节进行社会实践，对岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：（）补全频率分布直方图并求、的值；（）从年龄段在的“低碳族”中采用分层抽样法抽取人参加户外低碳体验活动，其中选取人作为领队，求选取的名领队中恰有1人年龄在岁的概率。参考答案：解：（）第二组的频率为，所以高为频率直方图如下： 2分 第一组的人数为，频率为，所以 由题可知，第二组的频率为03，所以第二组的人数为，所以 4分第四组的频率为，所以第四组的人数为，所以 6分（）因为岁年龄段的“低碳族”与岁年龄段的“低碳族”的比值为，所以采用分层抽样法抽取6人，岁中有4人，岁中有2人设岁中的4人，岁中的2人，则选取2人作为领队的有=15种；其中恰有1人年龄在岁的有4X2=8种 所以选取的2名领队中恰有1人年龄在岁的概率为 12分略19. （本题满分13分）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为(1)求双曲线C的方程(2)若直线与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且（其中O为原点）求 K的取值范围参考答案：设双曲线方程为因为（2）将代入双曲线中得由直线与双曲线交与不同两点的即设则由得，令解此不等式得即的20. （本小题满分13分）如图，在四棱锥P-ABCD中，AD平面PDC，ADBC，PDPB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2.（I）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；（II）求证：PD平面PBC；（）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.参考答案：（）解：如图，由已知AD/BC，故或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.因为AD平面PDC，所以ADPD.在RtPDA中，由已知，得，故.所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为.（）证明：因为AD平面PDC，直线PD平面PDC，所以ADPD.又因为BC/AD，所以PDBC，又PDPB，所以PD平面PBC.（）解：过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.因为PD平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以为直线DF和平面PBC所成的角.由于AD/BC，DF/AB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BC-BF=2.又ADDC，故BCDC，在RtDCF中，可得,在RtDPF中，可得.所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.21. （本小题满分13分，（）小问7分，（）小问6分）设函数（）求的最小正周期 （）若函数与的图像关于直线对称，求当时的最大值参考答案：解析：（）= 故的最小正周期为T = =8 ()解法一： 在的图象上任取一点，它关于的对称点.由题设条件，点在的图象上，从而 = = 当时，因此在区间上的最大值为解法二： 因区间关于x = 1的对称区间为，且与的图象关于x = 1对称，故在上的最大值为在上的最大值由（）知 当时，因此在上的最大值为.22. (18) (本小题满分13分)设椭圆的左焦点为F, 离心率为, 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为. () 求椭圆的方程; () 设A, B分别为椭圆的左,右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点. 若, 求k的值. 参考答案：