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第二章函数的概念与基本初等函数第一节 函数及其表示本节主要包括3个知识点:1.函数的定义域;2.函数的表示方法;3.分段函数.突破点(一)函数的定义域 1函数与映射的概念函数映射两集合A,B设A,B是两个非空的数集设A,B是两个非空的集合对应关系f:AB如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f:AB为从集合A到集合B的一个函数称对应f:AB为从集合A到集合B的一个映射记法yf(x),xA对应f:AB2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域:在函数yf(x),xA中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域显然,值域是集合B的子集(2)函数的三要素:定义域、值域和对应关系(3)相等函数:如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据1判断题(1)函数是特殊的映射()(2)与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点()(3)函数y1与yx0是同一个函数()答案:(1)(2)(3)2填空题(1)下列对应关系:A1,4,9,B3,2,1,1,2,3,f:xx的平方根;AR,BR,f:xx的倒数;AR,BR,f:xx22;A1,0,1,B1,0,1,f:A中的数平方其中是A到B的映射的是_答案:(2)函数yln(x2)的定义域为_答案:(2,)(3)下列f(x)与g(x)表示同一函数的是_f(x)与g(x);f(x)x与g(x);yx与y()2;f(x)与g(x).答案:求给定解析式的函数的定义域常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)yx0的定义域是x|x0(5)yax(a0且a1),ysin x,ycos x的定义域均为R.(6)ylogax(a0且a1)的定义域为(0,)(7)ytan x的定义域为.例1函数f(x)的定义域为()Ax|x1Bx|0x1Cx|01解析要使函数有意义,则必须满足0x1,选B.答案B易错提醒(1)不要对解析式进行化简变形,以免定义域发生变化(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时,定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集(3)定义域是一个集合,要用集合或区间表示,若用区间表示,不能用“或”连接,而应该用并集符号“”连接求抽象函数的定义域对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f(x)的定义域为a,b,则复合函数f(g(x)的定义域由不等式ag(x)b求出;(2)若已知函数f(g(x)的定义域为a,b,则f(x)的定义域为g(x)在xa,b上的值域例2已知函数f(x)的定义域为(1,1),则函数g(x)ff(x1)的定义域为()A(2,0)B(2,2)C(0,2)D.解析由题意得0x0,解得x2或x1,所以函数f(x)的定义域为(,1)(2,)故选B.2.函数y的定义域为()A(,1 B1,1C1,2)(2,) D.解析:选D由题意得解得即1x1且x,所以函数的定义域为.故选D.3.若函数yf(2x)的定义域为,则yf(log2x)的定义域为_解析:由题意可得x,则2x,4,log2x,4,解得x2,16,即yf(log2x)的定义域为2,16答案:2,164.函数f(x)lg(3x1)的定义域为_解析:要使函数f(x)lg(3x1)有意义,则解得x1,所以函数f(x)lg(3x1)的定义域为.答案:5.若函数f(x)的定义域为一切实数,则实数m的取值范围是_解析:由题意可得mx2mx10恒成立当m0时,10恒成立;当m0时,则解得01)将上式代入f lg x,得f(t)lg,即所求函数的解析式为f(x)lg(x1)答案:lg(x1)4已知f(x)满足2f(x)f 3x1,则f(x)_.解析:已知2f(x)f 3x1,以代替中的x(x0),得2f f(x)1.由2,得3f(x)6x1,于是所求函数的解析式为f(x)2x(x0)答案:2x(x0)突破点(三)分段函数 1分段函数若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数通常叫做分段函数2分段函数的相关结论(1)分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,值域等于各段函数的值域的并集1判断题(1)分段函数是两个或多个函数()(2)设函数f(x)若f(a)f(1)2,则a1.()答案:(1)(2)2填空题(1)已知函数f(x)则f的值是_解析:由题意可得flog22,ff(2)321.答案:(2)已知函数f(x)若f(1),则f(3)_.解析:由f(1),可得a,所以f(3)2.答案:(3)已知f(x)使f(x)1成立的x的取值范围是_解析:由题意知或解得4x0或0x2,故x的取值范围是4,2答案:4,2分段函数求值问题例1(1)已知函数f(x)则f的值为()A.B C1D1(2)已知函数f(x)则f(1log25)的值为()A.B.1log25C.D.解析(1)ff1sin1.(2)因为2log253,所以31log254,则42log25f(x)的解集为()A
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