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2.2 直线及其方程2.2.1 直线的倾斜角与斜率1第1课时直线的倾斜角与斜率1第2课时直线的方向向量和法向量82.2.2 直线的方程14第1课时直线的点斜式方程与斜截式方程14第2课时直线的两点式方程20第3课时直线的一般式方程272.2.3 两条直线的位置关系33第1课时两条直线的相交、平行与重合33第2课时两条直线的垂直402.2.4 点到直线的距离472.2.1 直线的倾斜角与斜率第1课时直线的倾斜角与斜率课标解读课标要求素养要求1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画斜率的过程,掌握过两点的直线的斜率的计算公式.1.数学抽象能理解直线的倾斜角与斜率的概念.2.数学运算会用过两点的直线的斜率公式,并能用斜率解决有关问题.必备知识教材研习要点一直线的倾斜角1.倾斜角的定义般地,给定平面直角坐标系中的一条直线,如果这条直线与x轴 相交,将x轴绕着它们的交点按 逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为,则称为这条直线的倾斜角;如果这条直线与x轴平行或 重合,则规定这条直线的倾斜角为0 .2倾斜角的取值范围倾斜角的取值范围是0,) .要点二直线的斜率1.斜率的定义一般地,如果直线l的倾斜角为,则当90时,称k=tan为直线l的斜率;当=90时,称直线l的斜率 不存在 .斜率的计算公式若A(x1,y1),B(x2,y2)是直线l上两个不同的点,则当时x1=x2,直线l的斜率为k=y2-y1x2-x1,当x1=x2时,直线l的斜率 不存在 .自主思考1.为什么定义中要规定“最小正角”?答案:提示因为x轴在旋转的过程中可以得到无数多个角,只有规定了最小的正角,倾斜角才是唯一确定的,更有利于我们利用倾斜角来研究直线.2.斜率公式中的k与A,B两点在该直线上的位置有关吗?答案:提示斜率公式中的k与A,B两点在该直线上的位置无关,即在直线1上任取不同的两点,斜率均不变.3.斜率公式中两个纵坐标和横坐标的次序可以调换吗?答案:提示斜率公式中两个纵坐标和横坐标的次序可以同时调换,也就是说,如果分子是y2-y1,那么分母必须是x2-x1 ;如果分子是y1-y2,那么分母必须是x1-x2,即k=y2-y1x2-x1=y1-y2x1-x2 . 名师点睛1.对倾斜角的理解(1)清楚定义中含有的三个条件:直线与x轴相交;绕直线与x轴的交点按逆时针方向旋转;与直线重合时所转的最小正角(2)倾斜角是一个几何概念,它直观地描述且表现了直线对x轴正方向的倾斜程度(3)平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角,且倾斜程度相同的直线,其倾斜角相等;倾斜程度不同的直线,其倾斜角不相等2.倾斜角与斜率的关系(1)当倾斜角是90时,直线的斜率不存在,并不是直线不存在,此时,直线垂直于x轴(或平行于y轴或与y轴重合)(2)所有的直线都有倾斜角,但不是所有的直线都有斜率(3)直线的斜率也反映直线相对于x轴的正方向的倾斜程度由k=tan的图像可知:当0,2)时,斜率越大,直线的倾斜程度就越大;当(2,)时,斜率越大,倾斜角也越大互动探究关键能力探究点一直线的倾斜角精讲精练例(1)直线l与x轴相交,其向上的方向与y轴正方向所成的角为(090),则其倾斜角为( )A. B.180-C.180-或90- D.90+或90-(2)已知直线l经过第二、四象限,则直线l的倾斜角的取值范围是( )A.090 B.90180C.90180 D.0180答案:(1)D(2)C解析:(1)如图,当直线l向上方向的部分在y轴左侧时,倾斜角为90+ ;当直线l向上方向的部分在y轴右侧时,倾斜角为90- .故选D.(2)直线倾斜角的取值范围是0,180),因为直线l经过第二、四象限,所以直线l的倾斜角的取值范围是90180 .解题感悟(1)解答本类题要根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围来解答.(2)求直线的倾斜角主要根据定义来求,其关键是根据题意画出图形,找准倾斜角,有时要根据情况分类讨论.迁移应用1.(2021山东聊城高二期末)已知直线l的倾斜角为-25,则角的取值范围为( )A.25155 B.-25155C.0180 D.25205答案:D解析:因为直线l的倾斜角为-25,所以0-25180,所以25205 .2.如图所示,直线l1的倾斜角是150,l2l1,垂足为B,l1,l2与x轴分别交于点C,A,l3平分BAC,则l3的倾斜角为答案:30解析:因为直线l1的倾斜角为150,所以BCA=30,所以l3的倾斜角为12(90-30)=30探究点二直线的斜率精讲精练例已知A(3,3),B(-4,2),C(0,-2) .(1)求直线AB和AC的斜率;(2)若点D在线段BC上(包括端点)移动,求直线AD的斜率的取值范围答案:(1)由斜率公式可得直线AB的斜率kAB=2-3-4-3=17,直线AC的斜率kAC=-2-30-3=53(2)如图,当D由B运动到C时,直线AD的斜率由kAB增大到kAC,直线AD的斜率的取值范围是17,53变式把本例中点A的坐标换为(-2,-4),其余条件不变,求直线AD的斜率的取值范围.答案:易知kAB=-4-2-2+4=-3,kAC=-4+2-2-0=1,当D由B运动到C时,直线AD的斜率由kAB减小,当直线AD与x轴垂直时,直线AD的斜率不存在,然后继续减小到kAC,所以直线AD的斜率的取值范围是(-,-31,+) .解题感悟(1)由两点坐标求斜率运用两点的斜率公式k=y2-y1x2-x1(x1x2)求解.(2)涉及直线与线段有交点的问题,通常数形结合利用公式求解.迁移应用 1.(2021北京西城高二期末)已知点A(m,-2),B(3,0),若直线AB的斜率为12,则m=答案: -1解析:根据斜率公式得kAB=0+23-m=12,解得m=-1 .探究点三直线的倾斜角与斜率的综合应用精讲精练例(1)已知直线l经过A(2,1),B(1,m2)(mR)两点,则直线l的倾斜角的取值范围是( )A.045B.0180C.045或90180D.045或135180(2)若A(2,1),B(-2,m),C(6,8)三点在同一条直线上,则m的值为 .答案:(1)C(2)-6解析:(1)kAB=m2-11-2=-m2+11,易知当tan(-,1时,045或90180,故选C.(2)kAB=m-1-2-2=1-m4,kAC=8-16-2=74,A,B,C三点共线,kAB=kAC,即1-m4=74,m=-6 .解题感悟用斜率公式解决三点共线的方法迁移应用1.(2021四川棠湖中学高二月考)在平面直角坐标系中,已知A(1,0),B(12,a),C(-1,2)三点共线,则a的值为( )A.-2 B.-12 C.12 D.2答案:C解析:A(1,0),B(12,a),C(-1,2)三点共线,kAB=kAC,即a-012-1=2-0-1-1,解得a=12,故选C.2.(2021河北尚义第一中学高二期中)设直线l的斜率为k,且-1k3,则直线l的倾斜角的取值范围是( )A.0,3)(34,) B.0,6)(34,)C.(6,34) D.0,3)34,)答案:D解析:易知0,),因为-1k3,所以-1tan3,结合正切函数的性质,可得0,3)34,)评价检测素养提升课堂检测1.下面选项中,由两点确定的直线的斜率不存在的是( )A.(4,2)与(-4,1) B.(0,3)与(3,0)C.(3,-1)与(2,-1) D.(-2,2)与(-2,5)答案:D2.若过A(2,3),B(y,4)两点的直线的倾斜角为45,则y的值为( )A.-32 B.32 C.-3 D.3答案:D3.若直线l经过点(1,2)和点(0,1),则它的倾斜角是( )A.45 B.135 C.135或225 D.0答案:A4.若A(-2,3)、B(-3,2)、C(12,m)三点共线,则m的值为答案:112素养演练直观想象利用数形结合的方法求分式的最值1.已知实数x,y满足y=-2x+8,且2x3,求yx的最大值和最小值.答案:由题意得点(x,y)满足关系式2x+y=8,且2x3可表示为点P(x,y)在线段AB上移动,并且A,B两点的坐标分别为(2,4),(3,2),如图所示,由于yx的几何意义是直线OP的斜率,且kOA=2,kOB=23,所以yx的最大值为2,最小值为23 .素养探究:由斜率公式k=y2-y1x2-x1,可知y-bx-a的几何意义是过P(x,y)与P(a,b)两点的直线的斜率,故可以利用数形结合来解决此类最值问题,在此过程中体现了直观想象的核心素养.第2课时直线的方向向量和法向量课标解读课标要求素养要求1.理解直线的方向向量、法向量的概念.2.会求直线的方向向量和法向量.3.理解直线的方向向量、法向量与直线的斜率之间的关系并会简单应用.直观想象能利用直线的方向向量、法向量确定直线.必备知识教材研习要点一直线的方向向量1.直线方向向量的定义一般地,如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线I 平行或重合,则称向量为直线l的一个方向向量,记作 al .2.直线方向向量的性质(1)如果为直线l的一个 方向向量,那么对于任意的实数0,向量a都是l的一个方向向量,而且直线l的任意两个方向向量一定 共线 .(2)如果A(x1,y1),B(x2,y2)是直线l上两个不同的点,则AB=(x2-x1,y2-y1))是直线l的一个 方向向量3.直线的方向向量与倾斜角,斜率的关系一般地,如果已知a=(u,v)为直线l的一个方向向量,则:(1)当u=0时,显然直线l的斜率不存在,倾斜角为 90(2)当u0时,直线l的斜率是存在的,而且此时(1,k)与a=(u,v)都是直线l的一个方向向量,由直线的任意两个方向向量共线可知1v=ku,从而k=vu,因此可知倾斜角满足 tan=vu要点二直线的法向量1.直线法向量的定义一般地,如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线 垂直,则称向量v为直线l的一个法向量,记作vl .直线法向量的性质(1)一条直线的 方向向量与法向量互相垂直.(2)当x0与y0不全为0时,因为向量(x0,y0)与(y0,-x0)是互相垂
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