1. 分别是方程 的根；讨论用 Newton 迭代法求它们近似值的收敛3,2x 328120 xxx阶。取初值计算根的近似值，要求迭代 3 次。 （结果保留 4 位小数）02x 3x 解： 设 32( )812f xxxx 2( )328fxxx ( )62fxx ，( 3)0,( 3)0ff (2)0,(2)0,(2)100fff 则：是的单根，故 Newton 迭代在附近是平方收敛；3( )0f x 3 是的二重根，故 Newton 迭代在附近是线性收敛；2( )0f x 2 取，Newton 迭代：02x 3212()812()328nnnnnnnnf xxxxxxxfxxx 223634nnnxxx 2001023634xxxx 2112123634xxxx 2223223634xxxx2. 设常数0a ，求出a的取值范围使得解方程组 112233212313axbaxbaxb 的 Jacobi 迭代法收敛。解： Jacobi 迭代： (1)( )kkJxB xg 10210211203203130130JaBaaa 1123abgabab 迭代矩阵的特征方程：JB 021211120323013013JaEBaaaa 即： 3()14()0aa 特征根： 140,ia 谱半径： 时 Jacobi 迭代收敛14()1JBa 故： 14a 3. 设（1）用 Crout 三角分解法求解方程组 12323251034133619xxx ； （2）用乘幂法求方程组系数阵的按摸最大的特征值和对应的特征向量。（取0(0,0,1)Tv ，计算迭代三次的值）解： （1）Crout 三角分解： 31122322110341012123613111324ALU ，21012311324L31121121U LybAxbUxy 求解得 Lyb5,1,02Ty 求解得Uxy1,1,0Tx （2） 0(0,0,1)Tv ， 0000,0,1max()Tvuv1， 102,4,1TvAu1110.5,1,0.25max( )Tvuv4 ， 21,TvAu2220.5,1,0.8611max()Tvuv9 ， 32,TvAu3330.5,1,0.7306max()Tvuv11.444. 试利用插值多项式证明：对0,1,2kn恒有等式 10(1)(1)(1)()kniiiiiiiin 证明： 设 ,1,2,ixiin ( ),0,1,2kf xxkn 由插值多项式的唯一性，比较 Lagrange 与 Newton 插值最高项系数得： 11111( ) ,()()()()niniiiiiiinf xf xxxxxxxxxx 由差商与导数关系，有 (1)1( ) ,1, (1)!nnff xxnn 将 代入上面两等式，有,(1,2, ),ixiin( ),(0,1,2)kf xxkn 10(1)(1)(1)()kniiiiiiiin (1)11( ) ,0(1)(1)(1)()(1)!knnniiff xxiiiiiinn 5. 求 4 次 Hermit 插值多项式( )H x ，满足： (0)(0)0,(1)(1)1,(2)1HHHHH 并写出误差表达式。解： 方法一：因 ，故设：(0)(0)0HH22( )()H xxabxcx 由 ，得(1)(1)1,(2)1HHH 12341241abcabcabc 得931,424abc 221( )(3)4H xxx 误差：(5)22( )( )( )( )(1) (2),(0,2)5!fE xf xH xxxx 方法一：满足的插值多项式为：(0)0,(1)(2)1HHH 2231( )22pxxx 设：2( )( )()(0)(1)(2)H xpxABx xxx 由 3(0)20,21(1)()12HBHAB得：由 13,44AB 22311( )(3)(0)(1)(2)2241(3)4H xxxxxxxxx 误差：(5)22( )( )( )( )(1) (2),(0,2)5!fE xf xH xxxx6. 试求求积公式 的求积系数 ，使得其有尽可能高20122 32 3( )()()33f x dxA fA f01,A A的代数精度，是否是 Gauss 型的？并用此公式计算积分（结果保留 5 位小数） 。20sin xdx解： 令 求积公式准确成立，有：( )1,f xx 010142 32 3()()033AAAA 得： 012AA 求积公式： 222 32 3( )2 ()2 ()33f x dxff 令 求积公式准确成立的，求积公式不是准确成立的，23( ),f xxx4( )f xx 求积公式代数精度为 3，是 Gauss 型的； 作变换(2), 2,28xtt 222022sinsin(2)sin(2)22288882 32 32sin(2)2sin(2)883830.99848xdxtdttdt7. 用最小二乘法求一个形如2yaxb 的经验公式，使它与下列数据拟合ix1925313844iy19.032.349.073.397.8解： 取 ，201( )1,( )xxx拟合函数为 201( )( )ybxaxbax法方程为： 55327271.453277277699369321.5baab 得： 0.050351,0.9726045ab 拟合函数为 20.05003510.9726045yx8. 用共轭梯度方法解方程组： （取初值 ） 。12215135xx (0)(0,0)Tx共轭梯度方法: ( )( )(0)(0)0(1)( )(1)( )(1)(1)(1)1( )( )(,),(,),(,),(,)kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkAAArrprbxppxxprrprrprprr解： 是对称正定阵；2113A (0)(0)0(5,5)TAprbx (0)(0)000(,)2(,)7Arrpp (1)(0)0010 10(,)77Txxp (1)(0)0055(,)77TArrp (1)(1)0(0)(0)(,)1(,)49rrrr (1)1004030(,)4949Tprp (1)(1)111(,)7(,)10Arrpp (2)(1)11(2,1)Txxp(1)(0)00(0, 0)TArrp 解为： (2)(2,1)Tx9. 应用 Heun 方法：112121(3)4(,)22(,)33nnnnnnhyyKKKf xyKf xh yhK 解初值问题 580(0)2yyy 时，问步长h应如何选取方能保证方法的绝对稳定性？ 并在1,2h 中选取数值稳定的步长计算 (2)y的近似值.解： 将 Heun 方法应用到方程上，有：580yy 其中21(1),2nnhyhy81.65hhh 当 时，方法是绝对稳定的，(2, 0)h 即 时方法是绝对稳定的；5(0,)(0,1.25)4h 故取 ，即，方法是绝对稳定的51(0,)(0,1.25)4h 85h 117,25nnyy 1017341.36,2525yy 211717345780.9248,252525625yy10. 求解常微分方程初值问题 的两步方法： , yf x yaxby a 111(58)12nnnnnhyyyyy （1）求出局部截断误差； （2）讨论方法的收敛性； （3）讨论方法的绝对稳定性。解： 011015811,0,121212aabbb （1） 把局部截断误差在处 Taylor 展开：nTnx ( )01()()()rrnnnrnTc y xc hy xc h yx01230cccc41024c 44(4)(4)1()(),(,)2424nnnnnnhhTyxyxx （2），方法是相容的；010cc 第一特征多项式：，两根为：2( ) rrr2( )0rrr011,0,rr 是单根，方法满足根条件；11,1irr 由收敛的充分必要条件知方法是收敛的。（2） 稳定多项式：，252( ; )(1)(1)12312hr hh rh r由绝对稳定性要求知 故0,h 51012h由参考定理知：的两根( ; )0r h0,1( )1rh 213121551112121215112hhhhhh 25(1)(1)31212511212hhhhh 故，即当时方法是绝对稳定的。( 6, 0)h ( 6, 0)h 应用 1应用 1. 试确定是方程 的几重根；取初值用改进的022( )1 220 xf xexx 00.25x 具有二阶收敛速度的 Newton 迭代法求的根的近似值。要求迭代 2 次（结果保( )0f x 0留 4 位小数） 。解： ，22( )1 22xf xexx 2( )224xfxex2( )44xfxe2( )8xfxe(0)(0)(0)0,(0)80ffff是方程 的 3 重根；0( )0f x 改进的具有二阶收敛速度的 Newton 迭代法：1222()3()1 223224nnnnnnxnnnxnf xxxfxexxxex 1x 0022000201 223224xxexxxex 2x 1122111211 223224xxexxxex 应用4应用4.若用复化梯形公式计算积分，要求截断误差不超过（舍入误差不计） ，31sinxexdx410问需要计算多少个节点上的函数值？解： ( )sin ,( )(sincos ),( )2cos ,( )3(cossin )xxxxf xex fxexxfxex fxexx 复化求积公式余项为： 2()( )( ), , 12nbaEfh fa b 其中： bahn 因 有 cos1,x 3( )2fe 若 ，得：4( )10nEf4223 10he 即 33.86 10h 2517.5nh 取 ， 518n 故至少需 519519 个节点才能保证截断误差不超过。410应用 9应用 9. 写出经典 4 阶 Runge-Kutta 方法求解初值问题 83(0)2yyy 的计算公式，并取步长，计算的近似值.（小数点后至少保留 4 位）0.2h (0.4)y解： ( , )83 ,0.2f x yyh 11234121123122413(22)6(,)83(,)5.62.12(,)6.322.372(,)4.108 1.578nnnnnnnnnnnnnnhyyKKKKKf xyyhKf xyKyhKf xyKyKf xyK hy 11.20160.5561nnyy 1(0.2)2.3138yy 2(0.4)2.4883yy