21.2空间中直线与直线之间的位置关系【学习目标】1理解异面直线的概念、画法，培养我们的空间想象能力2理解并掌握公理 4 及等角定理3理解异面直线所成角的定义、范围及应用1平行公理(公理 4)平行(1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线_这一性质通常叫做空间平行线的传递性ac)B练习 1：ab，bc，则 a 与 c 的位置关系是(A相交B平行C异面D以上都有可能2异面直线(1)异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线做_(2)空间两条直线的位置关系：练习 2：给出下列四个命题，其中正确的是()B在空间若两条直线不相交，则它们一定平行；平行于同一条直线的两条直线平行；一条直线和两条平行直线的一条相交，那么它也和另一条相交；空间四条直线 a，b，c，d，如果 ab，cd，且 ad，那么 bc.ABCD解析：错，可以异面；正确，公理 4；错误，和另一条可以异面；正确，由平行直线的传递性可知3等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角_相等或互补练习 3：在正方体 ABCD -A1B1C1D1 中，A1B 和 CD 所成的角为_454异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线 a，b，经过空间任意一点 O 作直线 aa，bb，我们把 a与 b所成的角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角)(2)异面直线所成角的取值范围：_.练习 4：已知直线 a，b 是异面直线，直线 c，d 分别与 a，b 都相交，则直线 c，d 的位置关系()CA可能是平行直线B一定是异面直线C可能是相交直线D平行、相交、异面直线都有可能【问题探究】1分别在两个平面内的直线是否一定是异面直线？答案：不一定，异面、平行、相交都有可能2垂直于同一条直线的两条直线是否平行？答案：在同一个平面内是成立的，在空间中就不一定成立了3如果两条直线和第三条直线所成的角相等，那么这两条直线一定平行吗？答案：不一定题型 1 判断空间两直线的位置关系【例 1】 l1，l2，l3 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()Al1l2，l2l3 l1l3Bl1l2，l2l3 l1l3Cl1l2l3 l1，l2，l3共面Dl1，l2，l3共点 l1，l2，l3共面解析：在空间中，垂直于同一条直线的两条直线不一定平行，故 A 错；两平行线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B 正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故 C 错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故 D 错答案：B 判断空间两直线的位置关系时需紧扣概念，结合平移的思想，发挥空间想象力，借助长方体等几何模型，得出正确答案【变式与拓展】1在正方体 ABCD -A1B1C1D1 中，E，F 分别是 AA1 ，AB的中点，试判断下列各对线段所在直线的位置关系：异面(1)AB 与 CC1_；(2)A1B1 与 DC_；(3)A1C 与 D1B_；(4)DC 与 BD1_；(5)D1E 与 CF_.平行相交异面相交题型 2 平行公理的应用【例 2】 空间四边形 ABCD 中，P，Q，R，H 分别是 AB，BC，CD，DA 的中点(1)求证：四边形 PQRH 是平行四边形；(2)若 ACBD，则四边形 PQRH 是什么四边形？(3)若 ACBD，则四边形 PQRH 是什么四边形？(4)空间四边形 ABCD 满足什么条件时，PQRH 是正方形？平行四边形 PQRH 为菱形(3)解：ACBD，异面直线 AC 与 BD 所成角为直角PHBD，PQAC，HPQ 为 AC 与 BD 所成的角HPQ90，即平行四边形 PQRH 为矩形(4)解：由(2)、(3)的证明可知，当 ACBD，且 ACBD 时，四边形 PQRH 为正方形【变式与拓展】2如图 2-1-6，已知正方体 ABCD -A1B1C1D1，E，F，G，中点，试判断下列直线H 分别为 AB，AD，C1B1，C1D1 的是否平行(1)AD1 与 BC1；(2)EF 与 GH；(3)DE 与 HB1.图 2-1-6解：(1)平行AB D1C1，ABC1D1是平行四边形AD1BC1.(2)平行EFBDB1D1GH，EFGH.(3)平行取CD中点为S，连接BS，可证DEBSHB1.题型 3 求异面直线所成的角【例 3】 如图 2-1-7，在正方体 ABCD -A1B1C1D1 中，E，F分别是 AB，AD 的中点，求异面直线 B1C 与 EF 所成的角的大小图 2-1-7解：连接DB，D1B1，D1C，则EFBD，BDB1D1，EFB1D1.D1B1C即为异面直线B1C，EF所成的角易知D1B1C为等边三角形，D1B1C60.异面直线B1C与EF所成的角为60.(1)求异面直线所成角的步骤：找角、证明、求值(2)取点，平移直线后所成的角不一定是异面直线所成的角，有可能是其补角，解题时要注意【变式与拓展】3(2014 年浙江模拟)如图2-1-8，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，E 为线段 A1C1 的中点，则异面直线 DE 与 B1C 所成角的大小为() 图 2-1-8A15B30C45D60提示：B1CA1D，求 DE 与 B1C 所成角转化为求 DE 与A1D所成角B)【例 4】若 P 是两条异面直线 l，m 外的任意一点，则(A过点 P 有且仅有一条直线与 l，m 都平行B过点 P 有且仅有一条直线与 l，m 都垂直C过点 P 有且仅有一条直线与 l，m 都相交D过点 P 有且仅有一条直线与 l，m 都异面易错分析：求异面直线所成的角化为共面后再计算答案：B方法规律小结1证明一对直线是异面直线，一般要从定义出发，由于定义是一个否定的形式的命题“不同在任何一个平面内”，因而常用反证法，至于在已知图形中求异面直线的对数，应依据定义，按一定的顺序查找，以免遗漏2求异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点平移定角计算如果已知条件中有中点，应首先考虑三角形的中位线