圆锥曲线光学性质的证明及应用初探源于课本一份阅读材料的探究反思内蒙古巴彦淖尔市奋斗中学：王珏 指导教师：张红学习完圆锥曲线的方程和性质后，课本上有一则阅读材料引起了同学们的兴趣，在老师的指导下，我们不仅了解了圆锥曲线的光学性质这一常见现象，而且进一步对它进行了证明和探究，并对它在 数学解题和生产科技等方面的应用有了一定的认识。课后我经过反思与整理，写成此文。一、 圆锥曲线的光学性质11 椭圆的光学性质： 从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上； ( 见图 1.1)椭圆的这种光学特性，常被用来设计一些照明设备或聚热装置例如在F1 处放置一个热源，那么红外线也能聚焦于 F2 处，对 F2 处的物体加热12 双曲线的光学性质 ：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上； ( 见图 1.2) 双曲线这种反向虚聚焦性质， 在天文望远镜的设计等方面， 也能找到实际应用13 抛物线的光学性质 ： 从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴（如图 1.3 ）抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大，并可通过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向卫星通讯像碗一样接收或发射天线，一1般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的，把接收器置于其焦点，抛物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线，最大限度地集中到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在焦点，把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，同样保证接收效果最常见的太阳能热水器，它也是以抛物线镜面聚集太阳光，以加热焦点处的贮水器的B DAF 2OF2 F1F1图 1.1图 1.2 图 1.3要探究圆锥曲线的光学性质，首先必须将这样一个光学实际问题，转化为数学问题，进行解释论证。二、问题转化及证明21 圆锥曲线的切线与法线的定义设直线 l 与曲线 c交于P ，Q 两点，当直线 l 连续变动时， P ，Q 两点沿着曲线渐渐靠近， 一直到 P ，Q 重合为一点 M , 此时直线 l 称为曲线 c在点M处的切线，过 M 与直线 l 垂直的直线称为曲线 c在点 M 处的法线。此时，我们可以借助圆锥曲线的切线和法线，对这一问题进行转化：2.2 圆锥曲线光学性质的证明预备定理 1. 若点 P( x0, y0 )是椭圆2 2x y2 2 1上任一点，则椭圆过该点的切a b线方程为：x x y y0 02 2 1a b。2证明： 由2 2y x2 1 2b a2 2y b2x(1 )2a 1当 x a时，过点 P 的切线斜率 k 一定存在，且k y|x x0对式求导： 22b2yy x02ak y|x x02b x02a y02b x0y y (x x )切线方程为0 2 0a y0 2 2 x y2 2 1 点 P( x0 , y0 )在椭圆上，a b故2 2x y0 02 2 1a b代入得x x y y0 02 2 1a b 而当 x a时， y 切线方程为x a，也满足式0 0故x x y y0 02 2 1是椭圆过点 P( x0 , y0 )的切线方程 .a b2 2x y预备定理 2. 若点 P(x0 , y0 )是双曲线2 2 1a b上任一点，则双曲线过该点的切线方程为：x x y y0 02 2 1a b证明： 由 2 2y x 2 2 1b a2 2y b2x( 1)2a 1当 x a时，过点 P 的切线斜率 k 一定存在，且k y|x x0对式求导：22b2yy x02ak y|x x02b x02a y02b x0y y (x x )切线方程为0 2 0a y0 点2 2x y2 2 1P x y 在双曲线( , )0 0a b上，3故2 2x y0 02 2 1a b代入得x x y y0 02 2 1a b 而当 x a时， y0 0 切线方程为x a，也满足式故x x y y0 02 2 1a b是双曲线过点 P( x0 , y0 ) 的切线方程 .预备定理 3. 若点 P( x0 , y0 ) 是抛物线2 2y px上任一点，则抛物线过该点的切线方程是 y0 y p(x x0 )证明： 由 y2 2px ，对x 求导得：2yy 2p k y |x x0py0当py时，切线方程为y y x x0 0 ( )0y0即 2y y y px px0 0 0而 y2 px y y p x x 0 2 0 0 ( 0)而当y x时，切线方程为x 也满足式0 0, 0 0 0 0故抛物线在该点的切线方程是 y0 y p(x x0 ) .定理 1.椭圆上一个点 P 的两条焦半径的夹角被椭圆在点 P处的法线平分（图2.1 ）2 2x y已知：如图，椭圆C 的方程为，2 2 1a bF F 分别是其左、右焦点， l 是过 1, 2F F 分别是其左、右焦点， l 是过椭圆上一点P x y 的切线，l 为垂直于 l 且过点 P 的椭圆的法线， 交 x轴于 D( , )0 0设F PD F PD ，2 , 1求证： .证法一 ：在C2 2x y: 12 2a b上，yP x y C ，( , )0 0x x y y则过点 P 的切线方程为： 0 02 2 1a bl 是通过点 P 且与切线l 垂直的法线， LD xF FO1F2L图2.14则y x 1 10 0l : ( )x ( ) x y ( ) 0 02 2 2 2b a b a法线 l 与x轴交于c2D ( ) x ,0)0a2 2c c|F D | x c,| F D | c x1 2 0 2 2 0a a2| F D | a cx1 02| F D | a cx2 0又由焦半径公式得：| F D | |PF | 1 1| F D | |PF |2 2| PF | a ex ,| PF | a ex1 0 2 0PD 是F PF 的平分线1 2 90 ，故可得证法二 ：由证法一得切线 l 的斜率y的斜率 0k2x c0k y|x x02b x02a y0，而yPF 的斜率 0k1 1x c0，PF2l 到PF 所成的角 满足12 y b x0 0tan 2 2 2 2 2 2k kx c a y a y b x b cx10 0 0 0 02 2 2 21 kk b x y (a b )x y a cy1 0 0 0 0 012(x c)a y0 0P(x , y ) 在椭圆0 0C2 2x y: 12 2a b上tan 2bcy0同理，PF 到l 所成的角 满足2tan2k k b21kk cy2 0tan tan 而 , (0, )2 证法三： 如图，作点 F3 ，使点 F3 与F2 关于切线 l 对称，连结F1 ，F3 交椭圆 C 于点P 5下面只需证明点 P 与P重合即可一方面，点 P 是切线 l 与椭圆 C 的唯一交点，则| PF | | PF | 2a ，是l 上的点1 2到两焦点距离之和的最小值（这是因为 l 上的其它点均在椭圆外）另一方面，在直线 l 上任取另一点 P|PF1 | | P F2 | | P F1 | | P F3 | | F1F3 | | P F1 | |P F2 |即P 也是直线 AB 上到两焦点的距离这和最小的唯一点，从而 P 与P重合即 而得证定理 2 双曲线上一个点 P的两条焦半径的夹角被双曲线在点 P 处的切线平分（图 2.2 ）；已知： 如图，双曲线 C 的方程为2 2x y2 2 1a b，F1 ，F2 分别是其左、 右焦点，l 是过双曲线 C 上的一点P(x , y ) 的切线，交x 轴于点 D ，设0 0FPD ，1F PD2求证：L证明：C2 2x y: 12 2a byP两焦点为2 a2 b2F c ，F2 (c,0) ( )1( ,0) cFD xFP(x , y ) 在双曲线上0 0则过点 P 的切线x x y y0 02 2 1a b图 2.2切线l 与x轴交于 2aD( ,0)x0。由双曲线的焦半径公式得c c|PF | | x a |,| PF | | x a |1 0 2 0a a双曲线的两焦点坐标为 F (c ,0) ，F ( c ,0)6故c| x a|a c a c | PF | a 0 | DF |1 1| DF | | | x a |,| DF | | | x a |,1 0 2 0cx a x a |PF | | x a| | DF |0 0 2 20a故 ，切线l 为 FPF 之角分线。定理 3 抛物线上一个点 P的焦半径与过点 P且平行于轴的直线的夹角被抛物线在点 P处法线平分（图 2