第五单元 完美的图形圆【例1】在下面的正方形中画一个最大的圆。 思路分析：通过之前的学习，我们知道，对于一个圆来说，其圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小。要在这个正方形中画一个最大的圆，那这个圆的圆心就应该是正方形的中心（两条对角线的交点），圆的直径应该等于这个正方形的边长。解答：先画出正方形的两条对角线，然后以对角线的交点为圆心，正方形边长的一半为半径画圆，所得的圆就是最大的圆。如下图：要点提示：正方形的中心是正方形两条对角线的交点,也是最大圆的圆心。 【例2】如右图，已知长方形的长是36厘米，则圆的半径和直径分别是多少厘米？思路分析：从图中可以看出，长方形中间的完整的圆和两边的两个半圆的直径是相等的，都等于长方形的宽。另外，两边的半圆的半径加上中间大圆的直径刚好等于长方形的长，所以长方形的长正好等于它们的半径的4倍，即用长方形的长除以4就可以求出它们的半径，再根据半径与直径的关系求出直径。要点提示：长方形的长正好等于圆的半径的4倍。解答：244=6（厘米） 62=12（厘米）答：圆的半径和直径分别是6厘米、12厘米。【例3】用两种方法把四个直径是16厘米的圆柱形木料捆扎在一起,截面如下图所示。求这两种方法分别需要多少厘米的绳子。 图(1)图(2) 思路分析：图(1)：在一个圆周上环绕的绳子长度是这个圆的周长的14,四个角上共四个圆周，正好是一个圆的周长,即3.1416=50.24(厘米)。四边两圆之间水平的线段,每条线段的长度正好等于两个圆的半径的和,也就是直径的长度,有4条线段,即水平线段的长度为416=64(厘米)。图(2)：在一个圆周上环绕的绳子长度是这个圆的周长的12,两边的两个圆周加起来正好是一个圆的周长,即3.1416=50.24(厘米)。上面或下面相邻两个圆之间水平的线段,每条线段正好等于三个圆的直径的和,两条线段就是六个圆的直径的和,即616=96(厘米)。解答：3.1416+416=50.24+64=114.24(厘米)3.1416+616=50.24+96=146.24(厘米)答:图(1)方法用去了114.24厘米的绳子,图(2)方法用去了146.24厘米的绳子。【例4】求下面阴影部分的面积。（单位：厘米）（1） （2） 思路分析：（1）本题考查的知识点是用“割补平移法”将不规则图形转化为规则图形求出阴影部分的面积。解答时，只要将左边阴影平移到右边空白部分或者将右边阴影平移到左边空白部分，阴影就转化为一个边长是5厘米的正方形。这样求出正方形的面积就是阴影部分的面积。（2）本题考查的知识点是外圆内方的阴影部分的面积。解答时，要明确的是阴影部分的面积等于圆的面积减去正方形的面积，正方形的面积等于以圆的直径为底边，圆的半径为高的两个等大的三角形的面积之和，据此解答即可。解答：（1）55=25（平方厘米）答：阴影部分的面积是25平方厘米。（2）3.14（102）-10（102）22=3.1425-105=78.5-50=28.5（平方厘米）答：阴影部分的面积是28.5平方厘米。【例5】下面图形中的阴影部分是扇形吗？是的在括号里画“”，不是的画“”。思路分析：由扇形的定义可知，由圆心角的两条边和圆心所对的弧围成的图形是扇形。第一个图形就是由圆心角和圆心角所对的弧围成的图形，因此第一个是扇形；第二个和第三个都不是圆心角，所以第二个和第三个都不是扇形。解答：要点提示：抓住扇形的本质特征，严格按照扇形的定义判断。【例6】一个圆形水池的半径是5米，为迎接国庆，现需在水池的周围摆放盆花，每隔3.14米放一盆，求一共可以放多少盆花？思路分析：要求圆形水池周围一共可以摆放多少盆鲜花，就要先求出这个圆形水池的周长，然后再根据周长和盆花摆放的间隔距离即可求出所需。圆形水池的半径是5米，我们可以利用公式C=2r求出这个水池的周长。要点提示：已知半径求圆的周长，可以直接利用公式C=2r计算。解答：3.1452=31.4（米） 31.43.14=10（盆） 答：一共可以放10盆花。【例7】两只蜜蜂分别沿着涂色部分的边缘爬1次，哪只蜜蜂爬过的路线长？（两个正方形的边长相等）思路分析：要想比较这两只蜜蜂谁爬过的路线长，就是比较左右两个图中涂色部分的周长。要点提示：四个小扇形的弧长之和正好是一个圆的周长。我们先观察左图，阴影部分的周长是外部正方形的周长与内部以正方形边长的一半为半径的圆周长之和；再观察右图，阴影部分的周长是外部正方形的周长与四个以正方形边长的一半为半径的小扇形的弧长之和，而这四个小扇形的周长加起来刚好是以正方形边长的一半为半径的圆周长。因此，这两只蜜蜂爬过的路线一样长。解答：这两只蜜蜂爬过的路线一样长。【例8】一只挂钟的分针长20厘米，经过30分钟后，分针扫过的面积是多少平方厘米？要点提示：将实际问题与学过的知识联系起来是常用的数学方法之一。思路分析：要解答这道题之前，我们要先知道钟面上有三根针，其中分针每走一格，就是过了1分钟。题中的分针走了30分钟，我们假如它是从1走到了6，也就是走了180，它扫过的面积恰好是以分针长度为半径的一个半圆，那我们就可以通过圆的面积公式S=r2求出它扫过的面积。解答：3.14202 2=628（平米厘米） 答：分针扫过的面积是628平方厘米。【例9】如图，一个半径为1厘米的小圆盘沿着一个半径为4厘米的大圆盘外侧做无滑动的滚动当小圆盘的中心围绕大圆盘中心转动90度后，小圆盘运动过程中扫过的面积是多少平方厘米？思路分析：本题考查的知识点是圆环的面积，需要注意是外圆半径是4+12=6厘米，然后根据圆环的面积公式求得面积后乘，最后还要加上一个小圆的面积。解答：4+12=6（厘米）3.14（6-4）+3.141=3.1420+3.14=15.7+3.14=18.84（平方厘米）答：小圆盘运动过程中扫过的面积是18.84平方厘米。【例10】一个花坛的形状如图所示，中间正方形的边长为10米，四周是四个半圆形，这个花坛的占地面积是多少平方米？思路分析：观察上图可知，花坛的中间是一个正方形，正方形的四周分别是4个半圆，因此这个花坛的面积就等于一个正方形的面积与四个半圆的面积之和。要点提示：解决求组合图形的面积时，一般要将它们分割成几个简单的图形，分别求出简单图形的面积，再求出它们的和或差。 我们知道，正方形的面积=边长边长，已知正方形的边长是10米，可以直接利用正方形的面积公式求出正方形的面积。求半圆的面积就要先求出半圆的半径，观察图形可知，圆的直径等于正方形的边长，因此半圆的半径是正方形边长的一半，即5米，求出半径就可以求半圆的面积了。最后将各部分面积加起来即可。解答：半圆的半径：102=5（米） 一个半圆的面积： 3.14522 =3.14252 =39.25（平方米） 四个半圆的面积：39.254=157（平方米） 正方形的面积：1010=100（平方米） 花坛的面积：157+100=257（平方米）答：这个花坛的占地面积是257平方米。【例11】如下图所示，等边三角形的空白部分是三个相同的扇形，三角形的边长是20厘米，求阴影部分的周长。 要点提示：三个扇形和在一起正好是一个半圆。思路分析：我们知道，等边三角形的每一个内角都是60。另外，由题意可知，三个小扇形的半径都是三角形边长的一半，即202=10（厘米）。因此，将三个小扇形合在一起正好是一个半径为10厘米的半圆，所以要求上图中阴影部分的周长，就是求半径为10厘米的圆的周长的一半。解答：3.141022=31.4（厘米）答：阴影部分的周长是31.4厘米。【例12】从一张三角形铁皮上剪下三个半径都是3厘米的扇形。这3个扇形的面积和是多少平方厘米。 思路分析：本题考查的知识点是利用转化法解答扇形的面积，解答时，根据这3个扇形的面积和是半径为3厘米的半圆的面积利用圆的面积公式解答。解答：把这3个扇形拼在一起，能得到半径为3厘米的半圆。3.1432=3.1492=14.13（平方厘米）答：这3个扇形的面积和是14.13平方厘米。【例13】如图。一只小狗拴在等边三角形的墙角，墙边长3米。绳长4米，求这只小狗最多能看护的面积。思路分析：本题考查的知识点是利用与圆有关的组合图形面积计算来解决简单的实际问题。解答此题的关键是弄清小狗的看护范围由哪些图形组成。如下图，小狗最多能看护的面积以4米为半径圆的（绿色部分）+两个以1米为半径圆的（蓝色部分）。解答时，利用圆心角的度数得出每个扇形面积相当于整个圆面积的几分之几，最后列式解答。要点提示等边三角形的任意一个内角都是60绿色部分是半径是4米的圆的面积的几分之几：（360-60）360=；蓝色部分占半径是1米的圆的面积的几分之几：（180-60）2360=。解答：3.1442+3.1412=（平方米）。答：这只小狗最多能看护的面积是43.96平方米。【例14】一个圆形水池的周长是50.24米，现在周围再加宽2米，这个水池的面积增加了多少平方米？ 思路分析：由题意可知，已知这个水池的形状是一个圆形，在它的周围再加宽2米，要求加宽部分的面积，也就是求圆环的面积（如右图）。通过前面的学习我们知道，圆环的面积等于外圆面积减去内圆面积的差，所以要解决这个问题必须要先求出外圆和内圆的半径，然后再根据圆的面积公式求解。 要点提示：圆环的面积=外圆的面积内圆的面积。解答：内圆的半径：50.243.142=8（米） 外圆的半径：8+2=10（米） 外圆的面积： 3.14102 =3.14100 =314（平方米） 内圆的面积： 3.1482 =3.1464 =200.96（平方米） 增加部分的面积：314-200.96=113.04（平方米） 答：这个水池的面积增加了113.04平方米。