湖南省永州市舜皇岩国家森林公园中学高三数学理期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在某次数学测验中，学号的四位同学的考试成绩，满足，则这四位同学的考试成绩的所有可能情况的种数为 （ ） (A) 4种 (B) 5种 (C) 16种 (D) 24种参考答案：答案：B 2. 函数的图象向左平移个单位后关于原点对称，则函数在上的最小值为（ ）。A B C D参考答案：A知识点：函数的图象变换；函数的值域.解析 ：解：函数的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数解析式为再由所得图象关于原点对称，可得为奇函数，故，可得函数，又因为，所以就有，故当，函数有最小值，最小值为s，故选A.思路点拨：根据的图象变换规律可得，所得图象对应的函数解析式为根据为奇函数，可得,求得的值可得函数解析式，然后在定义域内求最值即可.3. 已知双曲线，过原点的直线与双曲线交于A，B两点，以AB为直径的圆恰好过双曲线的右焦点C，若ABC的面积为，则双曲线的渐近线方程为（ ）ABCD参考答案：B以为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点，以为直径的圆的方程为，由对称性知的面积，即，即点的纵坐标为，则由，得，因为点在双曲线上，则，即，即，即，即，即，得，即，得，得，则双曲线的渐近线方程为，故选B4. 如图，已知双曲线=1（a，b0）的左右焦点分别为F1F2，|F1F2|=2，P是双曲线右支上的一点，PF1PF2，F2P与y轴交于点A，APF1的内切圆半径为，则双曲线的离心率是( )ABCD2参考答案：B【考点】双曲线的简单性质 【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】直角三角形的内切圆半径r=，可得|PF1|PF2|=，结合|F1F2|=2，即可求出双曲线的离心率【解答】解：由题意，直角三角形的内切圆半径r=，|PF1|PF2|=，|F1F2|=2，双曲线的离心率是e=故选：B【点评】本题考查双曲线的离心率，考查直角三角形内切圆的性质，考查学生的计算能力，属于基础题5. 某同学为了模拟测定圆周率，设计如下方案;点满足不等式组，向圆内均匀撒M粒黄豆，已知落在不等式组所表示的区域内的黄豆数是，则圆周率为（ ）A. B. C. D. 参考答案：D6. 若动圆的圆心在抛物线上，且与直线相切，则此圆恒过定点（ ）A. B. C.D.参考答案：C7. 设为两个平面，为两条直线，且，有如下两个命题：若，则；若，则，那么 （ ）A 是真命题，是假命题 B. 是假命题，是真命题C. 是真命题，是真命题 D. 是假命题，是假命题参考答案：D8. 数列an的前n项和为Sn，若，则S5=( )A1BCD参考答案：D考点：数列的求和 专题：计算题分析：由=，利用裂项求和法能求出S5解答：解：=，S5=a1+a2+a3+a4+a5=1=故选D点评：本题考查数列前n项和的求法，是基础题解题是要认真审题，注意裂项求法的灵活运用9. 如果执行如图所示的程序框图，输出的结果为 A.43 B69 C.72 D54参考答案：C10. 已知集合,集合,则=ABCD参考答案：D略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在曲线y2x1的所有切线中，斜率为正整数的切线有_条参考答案：312. 已知函数的图像过点，则此函数的最小值是 _ 参考答案：13. 曲线在点处的切线方程为 参考答案：【知识点】导数的几何意义。B11 【答案解析】 解析：由，则.所以，即切线L的斜率为1。又切线L过点(1,0)，所以切线L的方程为. 一般方程为 .【思路点拨】先对原函数求导，即可求出斜率，再利用点斜式写出直线方程。14. 过点P(,3)的直线，交圆于A、B两点，Q为圆上任意一点，且Q到AB的最大距离为，则直线l的方程为 。参考答案：或 15. 参数方程的普通方程为_。参考答案：解析： 16. 设常数展开式中的系数为，则 。参考答案：117. 已知函数为奇函数，则 .参考答案：4试题分析：，所以，考点：函数的奇偶性三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知实数a0，b0，且a2+3b2=3，若a+bm恒成立（1）求m的最小值；（2）若2|x1|+|x|a+b对a0，b0恒成立，求实数x的取值范围参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】（1）使用柯西不等式求出a+b的最大值极为m的最小值；（2）根据（1）的结果可知2|x1|+|x|4，去绝对值符号解不等式即可【解答】解：（1）a0，b0，（a2+3b2）（5+）（a+b）2，a+b=4m的最小值为4（2）2|x1|+|x|a+b对a0，b0恒成立， +b的最大值为4，2|x1|+|x|4或或，解得x或x219. 已知函数（1）求函数的单调区间；（2）若以函数图像上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求实数a的最小值；参考答案：（1）， (1分) 方程的判别式 当时, 在单调递增 (3分) 当时, 方程有两个根均小于等于零 在单调递增 (5分) 当时, 方程有一个正根,在单调递减,在单调递增 (7分) 综上当时, 在单调递增;当时, 在单调递减在单调递增 (8分)（2），恒成立 当时，取得最大值。 ， (14分) 20. 如图，椭圆C1： +y2=1，x轴被曲线C2：y=x2b截得的线段长等于C1的长半轴长（1）求实数b的值；（2）设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A、B，直线MA、MB分别与C1相交于D、E证明： ?=0；记MAB，MDE的面积分别是S1，S2若=，求的取值范围参考答案：【考点】圆锥曲线的综合【分析】（1）确定半长轴为2，利用x轴被曲线C2：y=x2b截得的线段长等于C1的长半轴长，可求b的值；（2）设直线的方程与抛物线方程联立，利用点M的坐标为（0，1），可得kMAkMB=1，从而得证；设直线的斜率为k1，则直线的方程为y=k1x1，代入抛物线方程可得x2=k1x，从而可得点A的坐标、点B的坐标，进而可得S1，同理可得S2，进而可得比值，由此可得的取值范围【解答】（1）解：由题意知：半长轴为2，则有2=2 （3分）b=1 （4分）（2）证明：由题意知，直线l的斜率存在，设为k，则直线的方程为y=kx与抛物线方程联立，消去y可得x2kx1=0，（6分）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个实根，于是x1+x2=k，x1x2=1（7分）又点M的坐标为（0，1），所以kMAkMB=1（9分）故MAMB，即MDME，故 （10分）设直线的斜率为k1，则直线的方程为y=k1x1，代入抛物线方程可得x2=k1x，解得x=0或x=k1，则点A的坐标为（k1，） （12分）同理可得点B的坐标为于是=直线的方程为y=k1x1，代入椭圆方程，消去y，可得（）x28k1x=0，解得x=0或x=，则点D的坐标为； （14分）同理可得点E的坐标于是S2=因此，（16分）又由点A，B的坐标可知，k=，平方后代入上式，所以=故的取值范围为） （18分）【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与抛物线、椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，属于中档题21. 已知m0，p：（x+2）（x-6）0，q：2-mx2+m（I）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；（）若m=5，“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数x的取值范围参考答案：22. （本小题满分12分）已知椭圆的焦点坐标为，且短轴一顶点B满足，() 求椭圆的方程；()过的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，则MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由。参考答案：解：()由题，设椭圆方程为=1（ab0），不妨设B（0，b），则，故椭圆方程为=1；() 设M，N,不妨设0, 0,设MN的内切圆半径为R，则MN的周长=4a=8，（MN+M+N）R=4R因此最大，R就最大，由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1，由得+6my-9=0，则=，令t=,则t1,则,令f（t）=3t+，则f(t) =3-，当t1时，f(t)0,f(t)在1,+)上单调递增，故有f(t)f(1)=4, =3,即当t=1,m=0时，=3, =4R，=，这时所求内切圆面积的最大值为.故直线l:x=1，AMN内切圆面积的最大值为。略