湖南省永州市芝山区实验中学高三数学理月考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知三棱锥中，若三棱锥的最大体积为，则三棱锥外接球的表面积为A. B.8 C.12 D.参考答案：C2. 已知，则( )A B CD参考答案：C略3. 定义在R上的偶函数，且在上单调递增，设，则a,b,c的大小关系是 ( )A. B. C. D. 参考答案：D略4. 如果把地球看成一个球体，则地球上的北纬纬线长和赤道长的比值为（A）0.8 （B）0.75 （C）0.5 （D）0.25参考答案：C解析：设地球半径为R,则北纬纬线圆的半径为Rcos60R 而圆周长之比等于半径之比,故北纬纬线长和赤道长的比值为0.5.5. 函数的零点所在区间为（ ）A、 B、 C、 D、参考答案： C略6. 已知ai，biR(i1,2,3，n)，则的最大值为()A1 B2 Cn D2参考答案：A略7. 四棱锥的五个顶点都在一个球面上，该四棱锥三视图如右图所示，、分别是棱、的中点，直线被球面所截得的线段长为，则该球表面积为A B C D参考答案：D8. 若直线与圆有公共点，则实数取值范围是A. B. C. D.参考答案：A略9. 在A BC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c=2a，则cosB等于（）ABCD参考答案：A【考点】余弦定理；正弦定理【分析】由c=2a，利用正弦定理化简已知等式可得：b2a2=ac=a2，利用余弦定理即可求得cosB的值【解答】解：若c=2a，则由正弦定理可得：b2a2=ac=a2，即：，故选：A10. 把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起形成三棱锥CABD的主视图与俯视图如图所示，则左视图的面积为（）A BC D参考答案：A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C2A，cos A，b5，则 ABC的面积为 ；参考答案：略12. 已知函数在实数集R上具有下列性质：直线是函数的一条对称轴;当时，、从大到小的顺序为_.参考答案：13. 设UR，Ax|x0，Bx|x1，则A?UB_.参考答案：x|0x114. 二维空间中圆的一维测度（周长），二维测度（面积），观察发现；三维空间中球的二维测度（表面积），三维测度（体积），观察发现.已知四维空间中“超球”的三维测度，猜想其四维测度_参考答案：【知识点】类比推理M1 【答案解析】 解析：二维空间中圆的一维测度（周长）l=2r，二维测度（面积）S=r2，观察发现S=l，三维空间中球的二维测度（表面积）S=4r2，三维测度（体积）V=r3，观察发现V=S，四维空间中“超球”的三维测度V=8r3，猜想其四维测度W，则W=V=8r3；W=2r4；故答案为：2r4【思路点拨】根据所给的示例及类比推理的规则得出高维的测度的导数是底一维的测度，从而得到W=V，从而求出所求15. 若非零向量满足，且，则向量与的夹角为 参考答案：16. 已知某校高三年级有140名学生,其中文科生40人,其余是理科生,现采用分层抽样的方法从中抽取14名学生进行调研,则抽取的理科生的人数为 参考答案：1017. 已知偶函数在R上的任一取值都有导数,且,则曲线在处的切线的斜率为 参考答案：-1略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. (理科)已知四棱锥的底面是直角梯形，侧面为正三角形，如图4所示(1) 证明：平面；(2) 求四棱锥的体积参考答案：证明(1) 直角梯形的，又， 在和中，有，且解(理科)(2)设顶点到底面的距离为结合几何体，可知 又，于是，解得 所以19. （本题满分13分）已知数列（1）求数列的通项公式；（2）设的值。 参考答案：（）当n=1时，a1=S1，由，得当n2时，即an是以为首项，为公比的等比数列故 （7分）（），bn=，（9分）（11分）解方程，得n=100（14分）20. 设数列的前项和为,且满足,()求数列的通项公式; ()设,数列的前项和为,证明:. 参考答案：(1)当时, 当时, 两式相减得:, 整理得 =()是以1为首项,为公比的等比数列 =() (2) -得: T=8-=8- 在时恒成立 即,单调递增 的最小值为 21. 已知函数.（1）判断的零点个数；（2）若函数，当时，的图象总在的图象的下方，求的取值范围.参考答案：（1）的定义域为，又，在上为增函数，又，在上只有一个零点.（2）由题意当时，恒成立.令，则.当时，在上为增函数.又，恒成立.当时，令，则.令的两根分别为且，则，当时，在上为减函数，又，当时，.故的取值范围为.22. 已知函数。（1）求函数的最小正周期、最大值及取最大值时自变量的取值集合；（2）在中，角A，B，C的对边分别是；若成等比数列，且，求的值.参考答案：（1）函数 的最小正周期 ， 最大值为5，对应的自变量x的取值集合为；（2） 解析：（1）易知 函数 的最小正周期 ，最大值为5，对应的自变量x的取值集合为（2）因为在中，若成等比数列， ，又 略