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湖南省永州市莲花乡中学高二数学理上学期期末试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 从装有形状大小相同的3个黑球和2个白球的盒子中依次不放回地任意抽取3次,若第二次抽得黑球,则第三次抽得白球的概率等于 ( )A. B. C. D. 参考答案:D.2. 10名工人某天生产同一零件,生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12设其平均数为a,中位数为b,众数为c,则有 ( ) Aabc Bbca Ccab Dcba参考答案:D3. 考察正方体6个面的中心,甲从这6个点中任意选两个点连成直线,乙也从这6个点种任意选两个点连成直线,则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于()ABCD参考答案:D【考点】CB:古典概型及其概率计算公式【分析】先用组合数公式求出甲乙从这6个点中任意选两个点连成直线的条数共有C62,再用分步计数原理求出甲乙从中任选一条共有225种,利用正八面体找出相互平行但不重合共有共12对,代入古典概型的概率公式求解【解答】解:甲从这6个点中任意选两个点连成直线,共有C62=15条,乙也从这6个点中任意选两个点连成直线,共有C62=15条,甲乙从中任选一条共有1515=225种不同取法,因正方体6个面的中心构成一个正八面体,有六对相互平行但不重合的直线,则甲乙两人所得直线相互平行但不重合共有12对,这是一个古典概型,所以所求概率为=,故选D【点评】本题的考点是古典概型,利用组合数公式和分步计数原理求出所有基本事件的总数,再通过正方体6个面的中心构成一个正八面体求出相互平行但不重合的对数,代入公式求解4. 在数列中,且(N),则为A B C D参考答案:C5. 将参数方程化为普通方程为( )Ay=x2 By=x+2 C D参考答案:C略6. 设mN*,F(m)表示log2m的整数部分,则F(2101)F(2102)F(2103)F(211)的值为( )A.10210 B.102101 C.102102 D.102101参考答案:B略7. 已知复数=( )A. 2 B. -2 C. D.参考答案:C8. 演绎推理“因为对数函数是增函数,而函数是对数函数,所以是增函数”所得结论错误的原因是( )A大前提错误 B. 小前提错误 C. 推理形式错误 D.大前提和小前提都错误参考答案:A9. 下列各组函数表示同一函数的是( )A BCD参考答案:C略10. 方程表示的曲线是( )A焦点在x轴上的椭圆 B焦点在x轴上的双曲线C焦点在y轴上的椭圆 D焦点在y轴上的双曲线参考答案:D略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 曲线y=ln(2x1)上的点到直线2xy+3=0的最短距离是 参考答案:【考点】导数的运算;IT:点到直线的距离公式【分析】直线y=2x+3在曲线y=ln(2x+1)上方,把直线平行下移到与曲线相切,切点到直线2xy+3=0的距离即为所求的最短距离由直线2xy+3=0的斜率,令曲线方程的导函数等于已知直线的斜率即可求出切点的横坐标,把求出的横坐标代入曲线程即可求出切点的纵坐标,然后利用点到直线的距离公式求出切点到已知直线的距离即可【解答】解:因为直线2xy+3=0的斜率为2,所以令y=2,解得:x=1,把x=1代入曲线方程得:y=0,即曲线上过(1,0)的切线斜率为2,则(1,0)到直线2xy+3=0的距离d=,即曲线y=ln(2x1)上的点到直线2xy+3=0的最短距离是故答案为:12. 等比数列中,且,则= .参考答案:613. 展开式的常数项是 .参考答案:1014. 设F1和F2是双曲线y2=1的两个焦点,点P在双曲线上,且满足F1PF2=90,则F1PF2的面积是 参考答案:1【考点】双曲线的应用;双曲线的简单性质【专题】计算题【分析】设|PF1|=x,|PF2|=y,根据根据双曲线性质可知xy的值,再根据F1PF2=90,求得x2+y2的值,进而根据2xy=x2+y2(xy)2求得xy,进而可求得F1PF2的面积【解答】解:设|PF1|=x,|PF2|=y,(xy)根据双曲线性质可知xy=4,F1PF2=90,x2+y2=202xy=x2+y2(xy)2=4xy=2F1PF2的面积为xy=1故答案为:1【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质要灵活运用双曲线的定义及焦距、实轴、虚轴等之间的关系15. 在的二项式中,所有项的二项式数之和为256,则常数项等于_参考答案:112由题意可得:,结合二项式展开式通项公式可得:,令可得:,则常数项为:.17.从0,1,2,3,4,5中任取3个数字组成没有重复数字的三位数,其中能被5整除的概率为_(用数字作答)【答案】【解析】选出的3个数字含有0时,有种方法,选出的3个数字不含有0时,有种方法,其中能被5整除的三位数末位必为0或5.末位为0的三位数其首次两位从15的5个数中任取2个排列而成方法数为,末位为5的三位数,首位从非0,5的4个数中选1个,有种挑法,再挑十位,还有种挑法,合要求的数有种。共有20+16=36个合要求的数。结合古典概型计算公式可得所求概率值为.16. 某幼儿园的老师要给甲、乙、丙、丁4个小朋友分发5本不同的课外书,则每个小朋友至少分得1本书的不同分法数为_.参考答案:240【分析】先给其中一个小朋友2本,再均分剩余3本,列出式子求解即可.【详解】先给其中一个小朋友2本,再均分剩余3本,故所求分法数为.故答案为:240【点睛】本题主要考查排列组合的综合应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.17. 若不等式ax2+bx+20的解集为,则a+b=_.参考答案:解:若不等式ax2+bx+20的解集为,则与是方程ax2+bx+20的解,由韦达定理得,所以a=12,b=2,故a+b=14.三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 在某校歌咏比赛中,甲班、乙班、丙班、丁班均可从、四首不同曲目中任选一首.(1)求甲、乙两班选择不同曲目的概率;(2)设这四个班级总共选取了首曲目,求的分布列及数学期望.参考答案:(1)在某校歌咏比赛中,甲班、乙班、丙班、丁班均可从、四首不同曲目中任选一首,共有种选法,甲、乙两班选择不同的曲目共有种选法,甲、乙两班选择不同曲目的概率为.(2)依题意可知,的可能取值为1,2,3,4,则,的分布列为:19. 如右图,PA平面ABCD,ABCD是矩形,PA=AB=1,点F是PB的中点,点E在边BC上,()若E为BC中点,证明:EF平面PAC;()证明:AF平面PBC; 参考答案:又PA=AB=1,且点F是PB的中点 PBAF (10分) (12分)又PBBC=B,PB、BC平面PBE AF平面PBC 20. (本小题满分12分)由世界自然基金会发起的“地球1小时”活动,已发展成为最有影响力的环保活动之一,今年的参与人数再创新高.然而也有部分公众对该活动的实际效果与负面影响提出了疑问.对此,某新闻媒体进行了网上调查,所有参与调查的人中,持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示:支持保留不支持20岁以下80045020020岁以上(含20岁)100150300(1)在所有参与调查的人中,用分层抽样的方法抽取个人,已知从“支持”态度的人中抽取了45人,求的值;(2)在持“不支持”态度的人中,用分层抽样的方法抽取5人看成一个总体,从这5人中任意选取2人,求至少有人20岁以下的概率;参考答案:解:(1)由题意得, 所以. (2)设所选取的人中,有人20岁以下,则,解得.也就是20岁以下抽取了2人,另一部分抽取了3人,分别记作A1,A2;B1,B2,B3,则从中任取2人的所有基本事件为 (A1,B1),(A1, B2),(A1, B3),(A2 ,B1),(A2 ,B2),(A2 ,B3),(A1, A2),(B1 ,B2),(B2 ,B3),(B1 ,B3)共10个. 其中至少有1人20岁以下的基本事件有7个:(A1, B1),(A1, B2),(A1, B3),(A2 ,B1),(A2 ,B2),(A2 ,B3),(A1, A2), 所以从中任意抽取2人,至少有1人20岁以下的概率为. 21. 已知抛物线C:的焦点为F,直线与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且.(1)求C的方程;(2)过F的直线与C相交于A,B两点,若AB的垂直平分线与C相较于M,N两点,且A,M,B,N四点在同一圆上,求的方程.参考答案:(1)设,代入,得由题设得,解得(舍去)或,C的方程为;3分(2)由题设知与坐标轴不垂直,故可设的方程为,代入得设则故的中点为6分又的斜率为的方程为将上式代入,并整理得设则故的中点为9分由于垂直平分线,故四点在同一圆上等价于,从而即,化简得,解得或所求直线的方程为或12分22. (I)求函数图象上的点处的切线方程;()已知函数,其中是自然对数的底数,对于任意的,恒成立,求实数的取值范围。参考答案:解:(); 由题意可知切点的横坐标为1,所以切线的斜率是, 切点纵坐标为,故切点的坐标是,所以切线方程为,即.(II)问题即, 1)当 ,所以无解。 2)当时,得若,则, ,所以无解。 若时,当时单调递减;当时单调递增。,综上可知
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