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湖南省永州市莲花乡中学2020年高三数学理测试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每人一天,要求星期五有一人参加,星期六有两人参加,星期日有一人参加,则不同的选派方法共有 ( )A.120种 B.96种 C.60种 D.48种参考答案:C2. 定义域为的偶函数满足对,有,且当 时,若函数在上至少有三个零点,则的取值范围是( )A B C D参考答案:B略3. 设两条不同直线m、n和两个不同平面,有两个命题:若,则;:若,则那么( )(A)“”为假 (B)“ ”为真 (C) “”为假 (D) “”为真参考答案:D4. 已知函数f(x)=,如果当x0时,若函数f(x)的图象恒在直线y=kx的下方,则k的取值范围是()A,B,+)C,+)D,参考答案:B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】由于f(x)的图象和y=kx的图象都过原点,当直线y=kx为y=f(x)的切线时,切点为(0,0),求出f(x)的导数,可得切线的斜率,即可得到切线的方程,结合图象,可得k的范围【解答】解:函数f(x)的图象恒在直线y=kx的下方,由于f(x)的图象和y=kx的图象都过原点,当直线y=kx为y=f(x)的切线时,切点为(0,0),由f(x)的导数f(x)=,可得切线的斜率为=,可得切线的方程为y=x,结合图象,可得k故选:B【点评】本题考查导数的运用:求切线的方程,正确求导和确定原点为切点,结合图象是解题的关键,考查运算能力,属于中档题5. 若集合,则集合A. B. C. D. 参考答案:A6. 某几何体的三视图(如图),则该几何体的体积是A. B. C. D. 参考答案:B略7. 若实数a,b满足ab,则下列不等式成立的是(A) (B) (C) (D)参考答案:B8. 若复数是实数,则的值为 ( )A B3 C0 D.参考答案:A略9. 若集合,则=( )A. B C D参考答案:C10. 下列哪个函数的定义域与函数的值域相同()A. B. C. D.参考答案:B函数的值域为,函数的定义域为,函数的定义域为;函数的定义域为,函数的定义域为,故选B.二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若正四棱锥的底面边长为2cm,侧面积为8cm2,则它的体积为 cm3参考答案:设侧面斜高为,则,因此高为 12. 在平面直角坐标系中,设点,其中O为坐标原点,对于以下结论:符合OP=1的点P的轨迹围成的图形的面积为2;设P为直线上任意一点,则OP的最小值为1;设P为直线上的任意一点,则“使OP最小的点P有无数个”的必要不充分条件是“”. 其中正确的结论有 (填上你认为正确的所有结论的序号).参考答案:略13. 已知函数,且, 则= .【解析】因为,所以,即。所以。参考答案:因为,所以,即。所以。【答案】 7 14. 已知向量,若,则的最小值为 参考答案:9【知识点】基本不等式 E6由得=0,().()=5+5=9【思路点拨】由得=0,后利用重要不等式求出。15. 计算参考答案:16. 设a,bR,c0,2),若对任意实数x都有2sin(3x)=asin(bx+c),定义在区间0,3上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点横坐标为d,则满足条件的有序实数组(a,b,c,d)的组数为参考答案:28【考点】排列、组合的实际应用【分析】首先由已知等式求得a值,然后利用三角恒等变换sin2x=cosx求出所有根的个数,最后利用排列组合的思想求得满足条件的有序实数组【解答】解:对任意实数x都有2sin(3x)=asin(bx+c),|a|=2,若a=2,则方程等价于sin(3x)=sin(bx+c),则函数的周期相同,若b=3,此时c=;若b=3,此时c=;若a=2,则方程等价于sin(3x)=sin(bx+c)=sin(bxc),若b=3,此时c=;若b=3,此时c=综上,满足条件的数组(a,b,c,)为(2,3,),(2,3,),(2,3,),(2,3,)共4组而当sin2x=cosx时,2sinxcosx=cosx,得cosx=0或sinx=,x=+k或x=+2k,kZ又x0,3,x=满足条件的有序数组(a,b,c,d)共有47=28故答案为2817. 已知,若,则 .参考答案:考点:向量的坐标、向量的垂直的充要条件、向量的模三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 如图,已知函数的图象与坐标轴交于点,直线交的图象于另一点,是的重心.()求;()求的外接圆的半径 参考答案:() 是的重心, ,故函数的最小正周期为3,即,解得,3分, 6分 ()由()知 且 8分 是的中点, 10分 11分外接圆半径等于 14分19. 如图,在底面是正方形的四棱锥中P-ABCD中,M是PB的中点,点P在底面ABCD的射影O恰是AD的中点(1)证明:平面PAB平面PAD;(2)求三棱锥M-PDC的体积参考答案:(1)见解析;(2)(1)证明:依题意,得平面,又平面,又,平面又平面,平面平面(2)平面,为的中点,为等腰三角形,又,点是的中点,到平面的距离等于点到平面距离的一半,即三棱锥的体积为20. 定义在R上的函数f(x)=ax2+bx2+cx+3同时满足以下条件:f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+)上是增函数;f(x)是偶函数;f(x)的图象在x=0处的切线与直线y=x+2垂直()求函数y=f(x)的解析式;()设g(x)=4lnxm,若存在x1,e,使g(x)f(x),求实数m的取值范围参考答案:考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;二次函数的性质;利用导数求闭区间上函数的最值专题: 导数的概念及应用分析: ()利用题中的已知条件,分别求出a、b、c的值,进一步求出函数的解析式()利用()中的解析式,进一步求出函数的导数,再利用函数的存在性问题即mf(x),只需满足:m(f(x)min即可从而通过求函数的最小值确定结果解答: 解:()定义在R上的函数f(x)=ax2+bx2+cx+3,所以:f(x)=3ax2+2bx+cf(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+)上是增函数,所以:f(1)=3a+2b+c=0,f(x)=3ax2+2bx+c是偶函数;则:b=0f(x)的图象在x=0处的切线与直线y=x+2垂直所以:f(0)=1解得:c=1把代入解得:a=则:()由()得:f(x)=x21,设g(x)=4lnxm,若存在x1,e,使得:4lnxmx21即存在x1,e,使:m(4lnxx2+1)min,设M(x)=4lnxx2+1 x1,e,则:令由于 x1,e,解得:x=,当时,M(x)0,所以M(x)在1,上是增函数,当时,M(x)0,所以M(x)在,e上是减函数即当x=时,函数求的最大值M(1)=0,M(e)=5e20所以:m5e2即m的取值范围为:m5e2点评: 本题考查的知识要点:利用函数的性质求函数的解析式,存在性问题的应用,及相关的运算问题21. 已知函数()若函数f(x)在处的切线平行于直线,求实数a的值;()判断函数f(x)在区间上零点的个数;()在()的条件下,若在上存在一点x0,使得成立,求实数m的取值范围参考答案:(),函数在处的切线平行于直线. ()令 , 得 记 , 由此可知在上递减,在上递增, 且 时 故时, 在无零点时, 在恰有一个零点时, 在有两个零点 ()在上存在一点,使得成立等价于函数在上的最小值小于零., 当时,即时, 在上单调递减,所以的最小值为,由可得,; 当时,即时, 在上单调递增,所以的最小值为,由可得; 当时,即时,可得的最小值为此时, 不成立. 综上所述:可得所求的范围是或22. (本小题满分12分)已知数列满足=5,且其前项和()求的值和数列的通项公式; ()设为等比数列,公比为,且其前项和满足,求的取值范围参考答案:(12分)()解:由题意,得, 因为 , 所以 , 解得 . 3分所以 当时,由, 4分 得 . 5分 验证知时,符合上式,所以,. 6分()解:由(),得. 8分 因为 , 所以 , 解得 11分 又因为,所以的取值范围是
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