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湖南省湘潭市县乌石中学高三数学文联考试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 已知角的顶点在坐标原点,始边与x轴正半轴重合,将终边按逆时针方向旋转后,终边经过点,则( )A. B. C. D. 参考答案:B【分析】先建立角和旋转之后得所到的角之间的联系,再根据诱导公式和二倍角公式进行计算可得。【详解】设旋转之后的角为,由题得,又因为,所以得,故选B。【点睛】本题考查任意角的三角函数和三角函数的性质,是基础题。2. 某几何体三视图如下图所示,则该几何体的体积是A. B. C. D. 参考答案:A3. 哥德巴赫在1742年6月7日给大数学家欧拉的信中提出:任一大于2的偶数都可写成两个质数的和这就是著名的“哥德巴赫猜想”,可简记为“1+1” 1966年,我国数学家陈景润证明了“1+2”,获得了该研究的世界最优成果若从大于10且不超过30的所有质数中,随机选取两个不同的数,则这两数之和超过30的概率是( )A. B. C. D. 参考答案:C【分析】利用列举法结合古典概型概率计算公式,计算出所求概率.【详解】大于10且不超过30的所有质数有:,共6个,从中任取2个,所有可能情况为,共种.其中两数之和超过30的有:,共11种.所以所求的概率为.故选:C【点睛】本小题主要考查古典概型的计算,属于基础题.4. 在体积为的球的表面上有A,B,C三点,AB=1,BC=,A,C两点的球面距离为,则球心到平面ABC的距离为 ( )A B C D1参考答案:C5. 为了得到函数的图像,只需把函数的图像( )A.向左平移个长度单位 B.向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位 D.向右平移个长度单位参考答案:B6. 已知两个不相等的非零向量,两组向量均由,和,均由2个和2个排列而成,记S=?+?+?+?,Smin表示S所有可能取值中的最小值,则下列命题中正确的个数为()S有3个不同的值;若,则Smin与|无关;若,则Smin与|无关;若|=2|,Smin=4,则与的夹角为A0B1C2D3参考答案:D【考点】命题的真假判断与应用【分析】由题意得到所有的S值判断,利用作差法求得S的最小值结合向量垂直、平行及数量积运算判断,则答案可求【解答】解:由题意可知,S=?+?+?+? 有三个值,分别为、正确;=,=,若,则Smin=0与|无关,正确;若,则Smin=,与|有关,错误;若|=2|,Smin=4,则cos=,与的夹角为,故正确命题中正确的个数为3个故选:D【点评】本题考查命题的真假判断与应用,考查平面向量的数量积运算,考查逻辑思维能力与推理运算能力,是中档题7. 已知数列an的通项公式,若使此数列的前n项和Sn最大,则n的值为( )A12 B13 C.12 或13 D14 参考答案:C由得 ,所以 的值为 或时,数列的前 项和 最大,选C.8. 设集合,则( ) A B C D参考答案:、A略9. 已知复数,则复数在复平面内对应的点在( )A第一象限 B.第二象限 C. 第三象限 D第四象限参考答案:A10. 是等差数列的前n项和,且,则k的值是A2 B11 C4 D12参考答案:答案:C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 两直线与平行,则它们之间的距离为 .参考答案:12. 以下命题:若则; 在方向上的投影为;若中,则;若非零向量、满足,则.其中所有真命题的标号是 .参考答案:13. 已知双曲线:的左顶点为,右焦点为,点,且,则双曲线的离心率为 参考答案:设F(c,0),又A(,0),由,得:(,b)(c,b)0,所以,有:,即,化为,可得离心率e。14. 如图,在矩形中,点为的中点,点在边上,若,则的值是 参考答案:将矩形放入平面直角坐标系,如图因为,为的中点,所以,,设,则,所以,所以。所以,所以.15. 已知定义域为R的函数f(x),对任意的xR,均有f(x+1)=f(x1),且x(1,1时,有f(x)=,则方程f(f(x)=3在区间3,3上的所有实根之和为 参考答案:3【考点】抽象函数及其应用;根的存在性及根的个数判断【分析】计算f(x)的周期,做出f(x)的函数图象,根据函数图象判断f(x)=3,从而得出x的值【解答】解:f(x+1)=f(x1),f(x+2)=f(x),f(x)是以2为周期的函数做出f(x)的函数图象如图所示:f(f(x)=3,f(x)=1+2k,kZ1f(x)3,f(x)=3,x3,3,x=1或x=1或x=3f(f(x)=3在3,3内的所有跟之和为(1)+1+3=3故答案为:316. 已知面积和三边满足:,则面积的最大值为_参考答案:17. 已知向量,且,则的坐标是 参考答案:或略三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. (本小题满分14分)设数列an的前n项和为Sn,满足,nN,且a1,a2+5,a3成等差数列(1) 求a1的值;(2) 求数列an的通项公式(3) 证明:对一切正整数n,有.参考答案:本题考查由数列的递推公式求通项公式,不等式证明问题,考查了学生的运算求解能力与推理论证能力,难度一般.19. (本小题满分13分)已知椭圆C1:y21,椭圆C2以C1的长轴为短轴,且与C1有相同的离心率(1)求椭圆C2的方程;(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆C1和C2上,2,求直线AB的方程参考答案:解:(1)由已知可设椭圆C2的方程为1(a2),其离心率为,故,则a4,故椭圆C2的方程为1.(2)解法一:A,B两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB),由2及(1)知,O,A,B三点共线且点A,B不在y轴上,因此可设直线AB的方程为ykx.将ykx代入y21中,得(14k2)x24,所以x,将ykx代入1中,得(4k2)x216,所以x,又由2得x4x,即,解得k1,故直线AB的方程为yx或yx.解法二:A,B两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB),由2及(1)知,O,A,B三点共线且点A,B不在y轴上,因此可设直线AB的方程为ykx.将ykx代入y21中,得(14k2)x24,所以x,由2得x,y,将x,y代入1中,得1,即4k214k2,解得k1,故直线AB的方程为yx或yx.20. 函数()求的极值()在上恒成立,求值的集合参考答案:()当时,;当时,在上单调递减,在上单调递增,为极小值点,无极大值 ()令,只需若,时,在上单调递减,不恒成立若,得,即时,时,在上单调递增时,不恒成立即时,时,时,在上单调递减,在上单调递增,为的最小值,故综上所述,值的集合为21. 如图,AB是O的直径,AC是O的切线,BC交O于点E()若D为AC的中点,证明:DE是O的切线;()若OA=CE,求ACB的大小参考答案:【考点】圆的切线的判定定理的证明 【专题】直线与圆【分析】()连接AE和OE,由三角形和圆的知识易得OED=90,可得DE是O的切线;()设CE=1,AE=x,由射影定理可得关于x的方程x2=,解方程可得x值,可得所求角度【解答】解:()连接AE,由已知得AEBC,ACAB,在RTABC中,由已知可得DE=DC,DEC=DCE,连接OE,则OBE=OEB,又ACB+ABC=90,DEC+OEB=90,OED=90,DE是O的切线;()设CE=1,AE=x,由已知得AB=2,BE=,由射影定理可得AE2=CE?BE,x2=,即x4+x212=0,解方程可得x=ACB=60【点评】本题考查圆的切线的判定,涉及射影定理和三角形的知识,属基础题22. 如图,在底面是矩形的四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,PA=AB=1,BC=2.()求证:平面PCD平面PAD;()若E是PD的中点,求异面直线AE与PC所成角的余弦值.参考答案:解析:(I)提示:先证CD平面PAD; ()提示:取PC的中点为M,AB的中点为N,选结EM、MN、PN,先证ANME是平行四边形,得MNAE,PMN或其补角为所求角,连AC可求得,. w.w.w.k.s.5.u.c.o.
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