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湖南省湘潭市大学子弟学校高三数学理下学期期末试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个锥体的侧视图和俯视图,则该锥体的正视图可能是() A B C D 参考答案:A考点: 简单空间图形的三视图 专题: 空间位置关系与距离分析: 由已知中锥体的侧视图和俯视图,画出该几何的直观图,进而可得该锥体的正视图解答: 解:由已知中锥体的侧视图和俯视图,可得该几何体是四棱锥,由侧视图和俯视图可得,该几何的直观图如图所示:顶点P在底面ABCD上的射影为CD的中点O,故该锥体的正视图是:故选A点评: 本题考查的知识点是简单空间几何体的三视图,其中根据已知中的三视图,画出直观图是解答的关键2. 同时具有性质“最小正周期是,图象关于直线对称;在上是增函数”的一个函数是 ( )ABCD参考答案:C3. 在ABC中,若,则ABC的面积为(A) (B) 1 (C) (D) 2参考答案:C4. 如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为等边三角形,俯视图为一个半径为3的圆及其圆心,那么这个几何体的体积为( ) . . . 参考答案:5. 若,且,则( )A. 0B. C. D. 参考答案:B【分析】利用倍角公式求出的值,再将目标式子化成关于的表达式,从而求得式子的值.【详解】因为,因为,所以,所以.故选:B.【点睛】本题考查三角恒等变换中的倍角公式、同角三角函数的基本关系,考查函数与方程思想的运用,求解时注意利用角的范围判断正切值的符号.6. 己知定义在上的函数的导函数为,满足,则不等式的解集为( )(A) (B) (C) (D) 参考答案:B考点:利用导数研究函数的单调性,导数的运算7. 设全集,集合则集合=( )A B C D参考答案:B试题分析:,.考点:集合交并补8. 已知集合,,则ABCD参考答案:B :因为集合,即,又因为,所以,故选B.9. 已知等比数列an的公比q0且q1,又a60,则( )Aa5+a7a4+a8Ba5+a7a4+a8Ca5+a7=a4+a8D|a5+a7|a4+a8|参考答案:A【考点】等比数列的性质【专题】计算题【分析】等比数列an的公比q0且q1,又a60,知此等比数列是一个负项数列,各项皆为负,观察四个选项,比较的是a5+a7,a4+a8两组和的大小,可用作差法进行探究,比较大小【解答】解:a60,q0a5,a7,a8,a4都是负数a5+a7a4a8=a4(q1)+a7(1q)=(q1)(a4a7)若0q1,则q10,a4a70,则有a5+a7a4a80若q1,则q10,a4a70,则有a5+a7a4a80a5+a7a4+a8故选A【点评】本题主要考查了等比数列的性质属基础题10. 在中,点在上,且,点是的中点,若,则=( )A B C D参考答案:B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知, 是互相垂直的单位向量,若 与的夹角为60,则实数的值是_参考答案:【分析】根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义,列出方程解方程即可求出的值【详解】解:由题意,设(1,0),(0,1),则(,1),(1,);又夹角为60,()?()2cos60,即,解得【点睛】本题考查了单位向量和平面向量数量积的运算问题,是中档题12. 已知直线及直线截圆C所得的弦长均为10,则圆C的面积是 参考答案: 略13. 若命题“?xR,使得ax2+ax+10”为假命题,则实数a的取值范围为参考答案:0,4)考点: 特称命题专题: 函数的性质及应用;简易逻辑分析: 命题“?xR,使得ax2+ax+10”为假命题,即ax2+ax+10恒成立,分当a=0时和当a0时两种情况分别讨论满足条件的a的取值,最后综合讨论结果,可得答案解答: 解:命题“?xR,使得ax2+ax+10”为假命题,ax2+ax+10恒成立,当a=0时,10恒成立,满足条件,当a0时,若ax2+ax+10恒成立,则,解得:a(0,4),综上所述:a0,4),故答案为:0,4)点评: 本题考查的知识点是特称命题,恒成立问题,其中正确理解命题“?xR,使得ax2+ax+10”为假命题的含义是ax2+ax+10恒成立,是解答的关键14. 已知向量,且,则m =_.参考答案:【分析】由向量平行的坐标表示,计算即得解.【详解】由于向量,且,由向量平行的坐标表示,故答案为:【点睛】本题考查了向量平行的坐标表示,考查了学生概念理解,数学运算的能力,属于基础题.15. 已知双曲线C的焦点、实轴端点恰好是椭圆的长轴端点、焦点,则双曲线C的渐近线方程是_.参考答案:16. 集合共有 个子集参考答案:8(个)17. 不等式的解集为 参考答案:略三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. (本小题满分12分)已知函数。()求的极小值和极大值; ()当曲线的切线的斜率为负数时,求在轴上截距的取值范围。参考答案:19. (13分)(2016?平度市模拟)已知函数f(x)=sinxcosxcos2x(0,xR)的图象上相邻两个最高点的距离为()求函数f(x)的单调递增区间;()若ABC三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且c=,f(C)=0,sinB=3sinA,求a,b的值参考答案:【考点】余弦定理;两角和与差的正弦函数;正弦函数的单调性【专题】解三角形【分析】()f(x)解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简,整理为一个角的正弦函数,根据题意确定出的值,确定出f(x)解析式,利用正弦函数的单调性求出函数f(x)的单调递增区间即可;()由f(C)=0,求出C的度数,利用正弦定理化简sinB=3sinA,由余弦定理表示出cosC,把各自的值代入求出a与b的值即可【解答】解:f(x)=sin2x(1+cos2x)=sin(2x)1,f(x)图象上相邻两个最高点的距离为,=,即=1,则f(x)=sin(2x)1,()令+2k2x+2k,kZ,得到+kxk+,kZ,则函数f(x)的单调递增区间为+k,k+,kZ;()由f(C)=0,得到f(C)=sin(2C)1=0,即sin(2x)=1,2C=,即C=,由正弦定理=得:b=,把sinB=3sinA代入得:b=3a,由余弦定理及c=得:cosC=,整理得:10a27=3a2,解得:a=1,则b=3【点评】此题考查了正弦、余弦定理,以及二倍角的正弦、余弦函数公式,熟练掌握定理是解本题的关键20. 已知函数.(1)解不等式;(2)若、,证明:.参考答案:(1)由得:,当时,解得;当时,解得;当时,解得;综上,不等式的解集为.(2)证明:,因为,即,所以,所以,即,所以原不等式成立.21. 如图,直角坐标系中,一直角三角形,、在轴上且关于原点对称, 在边上,的周长为12若一双曲线以、为焦点,且经过、两点(1) 求双曲线的方程;(2) 若一过点(为非零常数)的直线与双曲线相交于不同于双曲线顶点的两点、,且,问在轴上是否存在定点,使?若存在,求出所有这样定点的坐标;若不存在,请说明理由参考答案:解:(1) 设双曲线的方程为,则由,得,即 解之得,双曲线的方程为 (2) 设在轴上存在定点,使设直线的方程为,由,得即 ,即 把代入,得 把代入并整理得其中且,即且 代入,得,化简得 当时,上式恒成立因此,在轴上存在定点,使 略22. 如果函数y=f(x)的定义域为R,对于定义域内的任意x,存在实数a使得f=f(x+a)=f(x)成立,则称此函数具有“P(a)性质”;(1)判断函数y=sinx是否具有“P(a)性质”,若具有“P(a)性质”,试写出所有a的值;若不具有“P(a)性质”,请说明理由;(2)已知y=f(x)具有“P(0)性质”,当x0时,f(x)=(x+t)2,tR,求y=f(x)在0,1上的最大值;(3)设函数y=g(x)具有“P(1)性质”,且当x时,g(x)=|x|,求:当xR时,函数g(x)的解析式,若y=g(x)与y=mx(mR)交点个数为1001个,求m的值参考答案:【考点】分段函数的应用;抽象函数及其应用【专题】综合题;函数思想;转化法;函数的性质及应用【分析】(1)根据题意先检验sin(x+a)=sin(x)是否成立即可检验y=sinx是否具有“P(a)性质”(2)由y=f(x)具有“P(0)性质可得f(x)=f(x),结合x0时的函数解析式可求x0的函数解析式,结合t的范围判断函数y=f(x)在0,1上的单调性即可求解函数的最值(3)由题意可得g(1+x)=g(x),g(1+x)=g(x),据此递推关系可推断函数y=g(x)的周期,根据交点周期性出现的规律即可求解满足条件的m,以及g(x)的解析式【解答】解:(1)由sin(x+a)=sin(x)得sin(x+a)=sinx,根据诱导公式得a=2k+(kZ)y=sinx具有“P(a)性质”,其中a=2k+(kZ)(2)y=f(x)具有“P(0)性质”,f(x)=f(x)设x0,则x0,f(x)=f(x)=(x+t)2=(xt)2f(x)=当t0时,y=f(x)在0,1递增,x=1时ymax=(1t)2,当0t时,y=f(x)在0,t上递减,在t,1上递增,且f(0)=t2f(1)=(1t)2,x=1时ymax=(1t)2,当t时,y=f(x)在0,m上递减,在m,1上递增,且f(0)=m2f(1)=(1m)2,x=0时,ymax=t2,综上所述:当t时,ymax=f(1)=(1t)2,当tymax=f(0)=t2,
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