湖南省衡阳市 衡山县金龙中学2022年高一数学理期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设为奇函数, 且在内是减函数, ,则的解集( )A.(-1, 0)(2, +) B.(-, -2)(0, 2 ) C.(-, -2)(2, +) D.(-2, 0)(0, 2 ) 参考答案：C略2. 在等差数列an中，首项，公差，前n项和为有下列命题：若，则；若，则是Sn中的最大项；若，则；若，则其中正确命题的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4参考答案：D【分析】方法一：由前项和公式代入各命题判断是否正确.方法二：由等差数列前项和的性质判断各命题是否正确.【详解】方法一：若，则，可得，正确；，则是中的最大项，正确；，正确.若，则，又，故，所以，即，正确.故选D.方法二：若，则，而，则，正确；，正确；若，由可得单调递增，不合题意，故，等差数列的前项和是关于的二次函数，由对称性可得当时，取得最大值，正确. 若，则，又，故，所以，即，正确.故选D.【点睛】本题考查等差数列前项和的有关问题.有关等差数列、等比数列的问题一般都能够使用两种方法求解，一是用首项和公差(公比)进行基本量运算，二是利用有关性质进行解题.3. 函数 的定义域是 A. B. C. D. 参考答案：A4. 对于函数，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是（ ）ABC D参考答案：B略5. 如果函数在区间上是减少的，那么实数的取值 范围是（ ）A、 B、 C、 D、 参考答案：C略6. 对于函数 ，部分 x 与 y 的对应值如下表：x123456789y745813526数列 满足 ，且对任意 ，点 都在函数 的图象上，则 的值为（ ）A. B. C. D. 参考答案：C【分析】利用已知函数的关系求出数列的前几项，可得数列为周期数列，然后求出通过周期数列的和，即可求解本题。【详解】数列 满足 ，且对任意 ，点 都在函数 的图象上，数列为周期数列，周期为3，一个周期内的和为14，所以：故答案选C【点睛】本题考查函数与数列的关系，周期数列求和问题，判断数列是周期数列是解题关键。7. 某产品的广告费x（万元）与销售额y（万元）的统计数据如表：广告费用x2356销售额y20304050由最小二乘法可得回归方程=7x+a，据此预测，当广告费用为7万元时，销售额约为（）A56万元B58万元C68万元D70万元参考答案：A【考点】线性回归方程【专题】函数思想；综合法；概率与统计【分析】求出数据中心（，），代入回归方程求出，再将x=7代入回归方程得出答案【解答】解： =4， =3535=47+，解得=7回归方程为=7x+7当x=7时，y=77+7=56故选：A【点评】本题考查了线性回归方程的特点与数值估计，属于基础题8. 已知指数函数，且过点（2，4），的反函数记为，则 的解析式是：（ ）ABCD参考答案：B9. 已知函数，则=（）ABC1D参考答案：D【考点】函数的值【分析】先分别求出f（）=，f（0）=02=0，f（1）=，从而=f（）+f（0）+f（3），由此能求结果【解答】解：函数，f（）=，f（0）=02=0，f（1）=，=f（）+f（0）+f（3）=+02+log33=故选：D10. 在ABC中，若内角和边长满足，则角A =（ ）（A） （B） （C） （D）参考答案：A略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 从2012年参加奥运知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如图所示观察图形，估计这次奥运知识竞赛的及格率（大于或等于60分为及格）为_.参考答案：略12. 设已知函数，正实数m，n满足，且，若在区间上的最大值为2，则 参考答案：13. 定义在上的函数：当时，；当时，。给出以下结论：是周期函数；的最小值为；当且仅当时，取最大值； 当且仅当时，；的图象上相邻最低点的距离是。其中正确命题的序号是_.参考答案：略14. 在下列图形中，小黑点的个数构成一个数列的前3项.（1）= ；（2）数列的一个通项公式= .参考答案：(1) 13 ；(2) 15. 关于数列有下列四个判断：若成等比数列，则也成等比数列；若数列既是等差数列也是等比数列，则为常数列；数列的前n项和为，且，则为等差或等比数列；数列为等差数列，且公差不为零，则数列中不会有，其中正确判断的序号是_（注：把你认为正确判断的序号都填上）参考答案： 略16. 是偶函数，且在是减函数，则整数的值是 参考答案：或解析： 应为负偶数，即，当时，或；当时，或17. 已知某等差数列共有10项，若奇数项和为15，偶数项和为30，则公差为 参考答案：3三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 如图四边形ABCD为梯形，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积参考答案：(1)；（2）。试题分析：直角梯形绕直角腰旋转一周形成的是圆台，四分之一圆绕半径所在的直线旋转一周，形成的是半球，所以阴影部分绕旋转一周形成的是组合体，圆台挖去半球，.试题解析：解：圆中阴影部分是一个圆台，从上面挖出一个半球S半球=422=8 S圆台侧=(2+5)5=35 S圆台底=25故所求几何体的表面积S表8+35+2568 5分V圆台=V半球=.故所求几何体的体积VV圆台V半球=10分.考点：简单组合体的表面积和体积.19. 设f（x）是定义在实数集R上的函数，且y=f（x+1）是偶函数，当x1时，f（x）=2x1，则f（），f（），f（）的大小关系是（）Af（）f（）f（）Bf（）f（）f（）Cf（）f（）f（）Df（）f（）f（）参考答案：A【考点】指数函数的单调性与特殊点 【专题】探究型；转化思想；数学模型法；函数的性质及应用【分析】根据函数y=f（x+1）是偶函数得到函数关于x=1对称，然后利用函数单调性和对称之间的关系，进行比较即可得到结论【解答】解：y=f（x+1）是偶函数，f（x+1）=f（x+1），即函数f（x）关于x=1对称当x1时，f（x）=2x1为增函数，当x1时函数f（x）为减函数f（）=f（+1）=f（+1）=f（），且，f（）f（）f（），故选：A【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，根据条件求出函数的对称性是解决本题的关键20. （本小题满分12分）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒。已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为为常数），如图所示。（1）请写出从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室。参考答案：（1）依题意，当，可设y与t的函数关系式为ykt，易求得k10， y10t， 含药量y与时间t的函数关系式为（2）由图像可知y与t的关系是先增后减的，在时，y从0增加到1；然后时，y从1开始递减。 ，解得t0.6，至少经过0.6小时，学生才能回到教室21. （本题满分16分）在四棱锥PABCD中，ABCACD90，BACCAD60，PA平面ABCD，E为PD的中点，PA2AB2（1）求证：PCAE；（2）求证：CE平面PAB； 参考答案：解：（1）在RtABC中，AB1，BAC60，BC，AC2取中点，连AF, EF，PAAC2，PC4分PA平面ABCD，平面ABCD，PA，又ACD90，即， 6分 PC8分（2）证法一：取AD中点M，连EM，CM则EMPAEM 平面PAB，PA平面PAB，EM平面PAB 10分在RtACD中，CAD60，ACAM2，ACM60而BAC60，MCABMC 平面PAB，AB平面PAB， MC平面PAB 12分EMMCM，平面EMC平面PAB14分EC平面EMC，EC平面PAB16分证法二：延长DC、AB，设它们交于点N，连PNNACDAC60，ACCD，C为ND的中点10分E为PD中点，ECPN 12分EC 平面PAB，PN平面PAB，EC平面PAB 16分22. 等比数列满足：（1）求数列的通项公式（2）当时，记。求数列的前n项和参考答案：解：（1），（2）b=2，由错位相减法得：=略