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1 / 20 新高考数学复习知识点讲解与练习数列中的不等式问题1数列中的不等式问题在我省高考试卷中有加强趋势,主要有以下几种题型:(1)数列不等式的证明;(2)由数列不等式恒成立求参数;(3)由数列不等式求n 的最值2解决数列不等式问题的常见放缩技巧(1)对1n2的放缩,根据不同的要求,大致有三种情况:1n21n2n1n11n(n2);1n21n21121n11n1(n2);1n21nn1n1n(n1);12 n1nn1nn1(n1)题型一关于数列项的不等式证明【例 1】(2021杭州模拟 )已知数列 an ,bn满足 a112,an1an1anbn(nN*)2 / 20 (1)若 bna2n4,求证数列1an是等差数列,并求数列 an 的通项公式;(2)若 bna3n,求证: 00,an0(或由数学归纳法可证an0),an1an1an22anan212anan2. 1an11an12,数列1an是以 2 为首项,12为公差的等差数列,1an2(n1)12n32,an2n3. (2)证明an1an1ana3n,则an1an11ana3n1,数列 an是递减数列a112,0an12. 1a2n11ana3na2n1a2nan1an1a2n1221a2n52,即1a2n11a2n52,1a2n452(n1)5n32,a2n25n3. 3 / 20 a2n1a2n11ana3n1112123813,a2n14813n1. 综上所述,14813n1a2n25n3(nN*)感悟升华常用方法(1)利用数列的单调性、有界性放缩;(2)结合“累加”“累乘”“迭代”放缩;(3)结合有界性,利用不等式性质或函数求出最值或范围【训练 1】(2021 镇海中学模拟 )已知数列 an 满足 a11,an1n1nan(n2,nN*)(1)求 an;(2)若数列 bn 满足 b113,bn1bnb2na2n(nN*),求证: bnbn10,所以 bn1bn,则 bn1bnb2nn2bnbn1n2,则1bn1bn1bn1bnbnbn11n21n(n1)1n11n,累加得1b21bn1541n1,4 / 20 则 bn11,所以 bnbn11(n2),当 n1 时,不等式也成立,所以对任意 nN*,都有 bnbn11. 题型二数列和不等式的证明角度 1先放缩再求和【例 21】 (2021 杭州质检 )设公差不为 0 的等差数列 an的前 n 项和为 Sn, 等比数列 bn的前 n 项和为 Tn,若 a2是 a1与 a4的等比中项, a612,a1b1a2b21. (1)求 an,Sn与 Tn;(2)若 cnSn Tn,求证: c1c2 cnn(n2)2. (1)解设等差数列 an 的公差为 d,由题意得a22a1 a4,即 d2a1d. 因为 d0,故 da1. 由 a612 得 a12,d2,故 an2n,Snn(n1)由 a1 b1a2 b21 得 b112,b214,所以等比数列的公比qb2b112,所以 Tn112n. (2)证明因为 cnSn Tnn(n1)112n,0112n1恒成立,所以 ckk(k1)k(k1)14k12(kN*),所以 c1c2 cn32n12 n2(n2)n2. 故 c1c2 cnn(n2)2. 5 / 20 角度 2先求和再放缩【例 22】(2021台州期末 )设数列 an的前 n 项和为 Sn,对于任意的正整数n,都有 Snn2.递增的等比数列 bn满足: b11,且 b1,b2,b34 成等差数列(1)求数列 an , bn的通项公式;(2)求证:a2b21a3b31an1bn110),因为 b11,故由 2b2b1b34,b11,可得 q22q30,解得 q3 或1(舍去),所以数列 bn的通项公式为 bn3n1. (2)证明法一由(1)可得an1bn112n13n1,因为 n2 时,3n1(12)n1112C1n22C2n2n1,根据“若 ab0,m0,则babmam”,可得an1bn112n13n12(n1)3n(n2),所以a2b21a3b31an1bn113223322(n1)3n. 令 Tn233224332(n1)3n,6 / 20 13Tn233324342n3n2(n1)3n1,两式相减可得23Tn2321332134213n2(n1)3n123233113n21132(n1)3n17913n2(n1)3n1,所以 Tn763213n2(n1)3n1,所以 Tn76,所以a2b21a3b31an1bn117632833. 法二令 cnan1bn112n13n1,下一步用分析法证明cn1cn12,要证cn1cn12,即证(2n3)(3n1)(3n11)(2n1)12,即证(4n6)(3n1)(2n1)(3n11),即证 2n5(2n3)3n,当 nN*时,显然成立,所以cn1cn12,所以 c1c2 cn32582n13n13232123212n132112n1123 112n0)放缩;注意添减项 (多为常数 )放缩【训练 2】 (1)(角度 1)(2021 镇海中学检测 )已知正数数列 an的前 n 项和为 Sn,且满足2S2n(n2n)Sn(n2n2)0. 求数列 an的通项公式;设数列 bnann21,证明: b1b2 bn2 n1. (2)(角度 2)已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn,且 a22a4a9,S636. 求 an,Sn;若数列 bn满足 b11,bn1bn Sn,求证:1b11b21bn2 n1(nN*)(1)解由 2S2n(n2n)Sn(n2n2)0 得(Sn1)2Sn(n2n2)0,结合正数数列得 Snn2n22,所以 an2,n1,n,n2.证明由知 bn1,n1,nn21,n2.当 n2 时,bnnn211n1n1n2nn2nn12( nn1),所以 b1b2 bn12( 2132nn1)2 n1. (2)解设等差数列 an的公差为 d,则由条件得3a17da18d,6a115d36,8 / 20 解得 a11,d2,所以 an1(n1)22n1,所以 Sn(12n1)n2n2. 证明由知, bn1bnn,当 n1 时,解得 b21. 因为当 n2 时,bnbn1n1,所以 bn1bnbnbn11,bn(bn1bn1)1,即1bnbn1bn1,当 n2 时,1b11b21b31bn1b1(b3b1)(b4b2)(b5b3) (bn1bn1)1b1b1b2bnbn112bnbn12 n1. 当 n1 时,1b112 11,不等式也成立综上,不等式1b11b21bn2 n1 对任意 nN*都成立题型三数列不等式恒成立求参数【例 3】(2021 杭州质检 )已知数列 an 的各项均为正数, a114,bn1an, bn 是等差数列,其前 n 项和为 Sn,b2 S681. (1)求数列 an 的通项公式;(2)设 cn(1a1)(1a2)(1an),Tna1c1a2c2a3c3ancn,若对任意的正整数n,都有4aTncn恒成立,求实数 a 的取值范围解(1)设数列 bn 的公差为 d,由 b11a12,b2 S681,得(2d)(1215d)81,即 5d214d190,解得 d1 或 d195. 因为数列 an的各项均为正数, b12,9 / 20 所以 d0,所以 d1,所以 bnn1,所以 an1(n1)2. (2)由题意得 cn 1122113211(n1)21322 n(n2)(n1)2n22(n1),因为ancn1(n1)22(n1)n22(n1)(n2)21n11n2,所以 Tn2121313141n11n2nn2,所以不等式 4aTncn,化为 4ann2n22(n1),即 8a1,所以 8a1,即 a18. 故 a 的取值范围为,18. 感悟升华(1)能分离参数时,常分离参数,化为函数求最值、值域问题;(2)不能分离参数时,常分类讨论【训练 3】(2021义乌联考 )已知等比数列 an ,满足 a13,a3a1a2,数列 bn 满足 b11,对一切正整数 n 均有 bn1bn2n1. (1)求数列 an 和 bn的通项公式;(2)记 Sk2a14a26a32kak,Tn1b121b241b361bn2n,若存在实数 c 和正整数 k,使得不等式 Tn(c1) Sk对任意正整数 n 都成立,求实数c 的取值范围解(1)设等比数列 an 的公比为 q,10 / 20 由题可知 a3a1a2. a1q2a21q,即 3q29q,解得 q3,an3n. 因为 bn1bn2n1,则 bn1bn2n1,累加可得 bnb13(2n1)(n1)2(n1)(n1),所以 bn(n1)(n1)1n2. (2)2nan2n3n,Sk234326332k3k,13Sk2324336342k23k2k3k1,两式相减得23Sk2323223323423k2k3k123113k1132k3k1113k2k3k1,Sk323213k2k3k132. 1bn2n1n22n1n(n2)121n1n2,Tn1b121b241b361bn2n121121n11n234121n11n234. 若存在实数 c 和正整数 k 使得不等式 Tn1 时,3432;当 c1 时,3432. 11 / 20 题型四根据所给不等式求n 的最值 (范围) 【例 4】 (2021 湖州期末 )已知 Sn是数列 an的前 n 项和,a11 且 nSn1(n2)Sn, nN*. (1)求数列 an 的通项公式;(2)设 bn(1)n4an4n21(nN*),数列 bn 的前 n 项和为 Pn,若|Pn1|12 020,求正整数 n的最小值解(1)由 nSn1(n2)Sn得Sn1Snn2n,所以当 n2 时,SnSnSn1Sn1Sn2Sn2Sn3 S4S3S3S2S2S1 S1n1n1nn2n1n35342311n(n1)2. 又当 n1 时,S1a11 也成立,所以 Snn(n1)2,所以当 n2 时,anSnSn1n(n1)2n(n1)2n. 又 a11 也成立,所以 ann. (2)由(1)知 bn(1)n4n4n21(1)n12n112n1,所以 Pn11313151517 (1)n12n1(1)n12n11(1)n12n1,所以|Pn1|12n12 0192. 因为 n 为正整数,所以 n 的最小值是 1 010. 感悟升华此类问题多归结为解关于n 的不等式解决【训练 4】(2021 名校仿真训练卷五 )数列 an 中,a12,(n1)(an1an)2(ann1)(1)求 a2,a3的值;12 / 20 (2)已知数列 an 的通项公式是 ann1,ann21,ann2n 中的一个,设数列1an的前 n 项和为 Sn,数列 an1an 的前 n 项和为 Tn,若TnSn360,求 n 的取值范围解(1)(n1)(an1an)2(ann1),an1n3n1an2,a21311a126,a32321a2212. (2)数列 an 的通项公式是 ann1,ann21,ann2n 中的一个,且 a26,数列 an的通项公式是 ann2nn(n1)由 ann(n1)可得1an1n(n1)1n1n1. 1a11a21an 11212131n1n111n1,Sn11n1. (a2a1)(a3a2) (an1an)an1a1,ann(n1),(a2a1)(a3a2) (an1an)n23n,即 Tnn23n. 由TnSn360得 n24n3570,解得 n17 或 n21. n 是正整数,所求 n 的取值范围为 (17, ),且 n 是正整数1设正项数列 an 满足 a11,an1an1an(nN*)(1)求证: 2a2n1a2n3;13 / 20 (2)求证:3n13n2an1an2n2n1. 证明(1)因为 a11 及 an1an1an(n1),所以 an1,所以 01a2n1.因为 a2n1 an1
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