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贵州省遵义市启洪中学2020年高二数学理测试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 设随机变量XB(10,0.8),则D(2X+1)等于()A1.6B3.2C6.4D12.8参考答案:C【考点】CN:二项分布与n次独立重复试验的模型【分析】根据设随机变量XB(10,0.8),看出变量符合二项分布,看出成功概率,根据二项分布的方差公式做出变量的方差,根据D(2X+1)=22DX,得到结果【解答】解:设随机变量XB(10,0.8),DX=100.8(10.8)=1.6,D(2X+1)=221.6=6.4故选C2. 已知不等式组表示的平面区域为,若直线与平面区域 有公共点,则的取值范围是( )A. B. C. D. 参考答案:A3. 曲线在点处的切线方程是( )(A) (B) (C) (D) 参考答案:A略4. 已知随机变量服从正态分布N(3,2),若P(2)=0.3,则P(24)的值等于()A0.5B0.2C0.3D0.4参考答案:D【考点】CP:正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【分析】根据正态分布的对称性及概率之和为1即可得出答案【解答】解:P(2)=P(4)=0.3,P(24)=1P(2)P(4)=0.4故选:D5. 设函数,则( )A. 函数f(x)无极值点B. 为f(x)的极小值点C. 为f(x)的极大值点D. 为f(x)的极小值点参考答案:A【分析】求出函数的导函数,即可求得其单调区间,然后求极值【详解】解:由函数可得:,函数在R上单调递增函数的单调递增区间为函数无极值点故选:A【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的极值,属于基础题。6. 观察按下列顺序排列的等式:,猜想第个等式应为 A BC. D参考答案:B 7. 已知抛物线y2=2px(p0)的准线与圆(x-3)2+y2=16相切,则p的值为( )A B.1C2 D.4参考答案:C8. 已知函数y=的图象如图所示(其中f(x)是定义域为R函数f(x)的导函数),则以下说法错误的是()Af(1)=f(1)=0B当x=1时,函数f(x)取得极大值C方程xf(x)=0与f(x)=0均有三个实数根D当x=1时,函数f(x)取得极小值参考答案:C【考点】利用导数研究函数的单调性;函数的图象;导数的运算【专题】导数的综合应用【分析】根据函数单调性和导数之间的关系,分别进行判断即可【解答】解:A由图象可知x=1或1时,f(1)=f(1)=0成立B当x1时,0,此时f(x)0,当1x0时,0,此时f(x)0,故当x=1时,函数f(x)取得极大值,成立C方程xf(x)=0等价为,故xf(x)=0有两个,故C错误D当0x1时,0,此时f(x)0,当x1时,0,此时f(x)0,故当x=1时,函数f(x)取得极小值,成立故选:C【点评】本题主要考查导数的应用,利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键9. 在集合1,2,3,4中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量(a,b)从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作三角形,事件“所得三角形的面积等于1”的概率为 ()A B C D参考答案:B改编自2011年四川文科数学高考题(把原题改简单),数学背景知识是向量的外积(或称为向量积、叉积)不过不借助外积的知识,用现有的知识也能推导出:当(a1,a2),(b1,b2)时,以,为邻边的平行四边形的面积S|sinPOQ|a1b2a2b1|由条件知,满足条件的向量有4个,即1(2,1),2(2,3),3(4,1),4(4,3),易知“4选2”的选法共有6种,而满足“三角形的面积等于1”的有向量1和3、1和4共2种,故所求概率为.10. 由直线y=,y=2,曲线y=及y轴所围成的封闭图形的面积是( )A2ln2B2ln21Cln2D参考答案:A考点:定积分 专题:导数的综合应用分析:利用定积分的几何意义,首先利用定积分表示出图形的面积,求出原函数,计算即可解答:解:由题意,直线y=,y=2,曲线y=及y轴所围成的封闭图形的面积如图阴影部分,面积为=lny=ln2ln=2ln2;故选A点评:本题考查定积分的运用,利用定积分的几何意义求曲边梯形的面积,考查了学生的计算能力,属于基础题二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 一个球的体积在数值上等于其表面积的2倍,则该球半径为 参考答案:6【考点】球的体积和表面积【分析】设出球的半径,求出球的体积和表面积,利用相等关系求出球的半径即可【解答】解:设球的半径为r,则球的体积为:,球的表面积为:4R2R=6故答案为:612. 已知随机变量服从正态分布,则( )参考答案:略13. 函数f(x)=x3+x2+mx+1是R上的单调函数,则m的取值范围为参考答案:,+)【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】对函数进行求导,令导函数大于等于0在R上恒成立即可【解答】解:若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数,只需y=3x2+2x+m0恒成立,即=412m0,m故m的取值范围为,+)故答案为:,+)14. 已知则cos _.参考答案:15. 已知幂函数的图像过点(2,4),则这个函数的解析式为 参考答案:略16. 若函数,且,则实数的取值范围为_参考答案:略17. 三角形的一边长为,这条边所对的角为,另两边之比为8:5,则这个三角形的面积为 .参考答案:三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 如图,是双曲线C:,(a0,b0)的左、右焦点,过的直线与C的左、右两支分别交于A、B两点,若,则双曲线的离心率为( )A B C2 D参考答案:A略19. 已知椭圆C:+=1(ab0)上一点到两焦点间的距离之和为2,直线4x3y+3=0被以椭圆C的短轴为直径的圆M截得的弦长为(1)求椭圆C的方程;(2)若椭圆C上存在两个不同的点A,B,关于直线l:y=(x+)对称(i)求k的取值范围;(ii)求证:AOB面积的最大值等于椭圆C的离心率参考答案:【考点】椭圆的简单性质【分析】(1)由题意可知:2a=2,a=, =2,即=2,解得:b=1,即可求得椭圆的标准方程;(2)(i)由题意可知:设直线y=kx+m,代入椭圆方程,利用韦达定理及中点坐标公式求得中点P坐标,代入直线方程l方程,由0,即可求得k的取值范围;由三角形的面积公式可知:S=丨m丨?丨x1x2丨=,由基本不等式的性质,即可求得三角形面积的最大值,则椭圆的离心率,即可求证:AOB面积的最大值等于椭圆C的离心率【解答】解:(1)椭圆C: +=1(ab0)上一点到两焦点间的距离之和为2,即2a=2,a=,由O到直线4x3y+3=0距离d=,直线4x3y+3=0被以椭圆C的短轴为直径的圆M截得的弦长为,则=2,即=2,解得:b=1,椭圆C的方程为:;(2)(i)由题意可知:直线l:y=(x+)对称,则设直线l:y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),整理得:(2+k2)x2+2kmx+m22=0,由韦达定理可知:x1+x2=,x1?x2=,根据题意:=4k2m24(2+k2)(m22)=8(k2m2+2)0,设线段AB的中点P(x0,y0),则x0=,y0=kx0+m=,点P在直线y=(x+)上, =(+),m=,代入0,可得3k4+4k240,解得:k2,则k或k,直线AB与y轴交点横坐标为m,(ii)证明:AOB面积S=丨m丨?丨x1x2丨=?丨m丨?=,由基本不等式可得:m2(k2m2+2)()2=,AOB面积S=,当且仅当m2=k2m2+2,即2m2=k2+2,又m=,解得:k=,当且仅当k=时,AOB面积取得最大值为由椭圆C的方程为:的离心率e=,AOB面积的最大值等于椭圆C的离心率20. 已知抛物线E的焦点F在x轴正半轴上,其弦AB过点F且垂直于x轴,若.(1)求抛物线E的标准方程;(2)设M,N是抛物线E上不重合两点,M与N两点的纵坐标之和为4,求直线MN的斜率.参考答案:(1),(2)1【分析】(1)由题设出抛物线的方程为,由于弦过焦点且垂直 轴,则,即可求出抛物线方程。(2)设出,两点的坐标,根据条件求出坐标的关系,然后表示出直线的斜率表达式,化简即可得到直线的斜率。【详解】(1)抛物线的焦点在轴的正半轴,则设抛物线方程为,焦点,由于弦过焦点且垂直,故弦所在直线方程为: ,即,解得:,抛物线的方程:,(2)设,且 ,在抛物线上,故,即,又 与两点的纵坐标之和为4,直线的斜率【点睛】本题主要考查了抛物线标准方程的求法,以及直线与抛物线的关系,属于中档题。21. 已知数列an的前n项和,bn是公差不为0的等差数列,其前三项和为9,且是,的等比中项.()求an, bn;()令,若对任意恒成立,求实数t的取值范围.参考答案:解:()因为, 所以当时,即,当时,-得:,即,所以.3分由数列的前三项和为9,得,所以,设数列的公差为,则,又因为,所以,解得或(舍去),所以6分()由()得,从而令即, 得,-得 所以10分 故不等式可化为(1)当时,不等式可化为,解得;(2)当时,不等式可化为,此时;(3)当时,不等式可化为,因为数列是递增数列,所以.综上:的取值范围是.12分22. 我国算经十书之一孙子算经中有这样一个问题:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二.问物几何?答曰:二十三.”你能用程序解决这个问题吗?参考答案:设物共m个,被3,5,7除所得的商分别为x、y、z,则这个问题相当于求不定方程 的正整数解.
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