单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式* *1 1DOABEC平分弧的直径必平分弧所对的弦 平分弦的直线必垂直弦 垂直于弦的直径平分这条弦 平分弦的直径垂直于这条弦 弦的垂直平分线是圆的直径 平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧 分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对的两条弧分别三等分 三、判断下列说法的正误 CDABE已知：AB求作：AB的中点点E就是所求AB的中点例10、CABO你能确定AB的圆心吗？点O就是AB的圆心例12、.OAB圆绕圆心旋转.OAB圆绕圆心旋转.OAB圆绕圆心旋转.OAB圆绕圆心旋转.OBA圆绕圆心旋转.OBA圆绕圆心旋转.OAB圆绕圆心旋转圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式* *1313 我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.OBA 圆心角AOB所对的弦为AB，所对的弧为AB。圆心角：1、判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。3、下面我们一起来观察一下：在O中有哪些圆心角？并说出圆心角所对的弧，弦。ABCo任意给圆心角，对应出现两个量：圆心角弧弦 OAABB 如图在圆O中，圆心角AOB=A1OB1，它们所对的弦AB AB所对的AB 、AB ，有什么关系？根据旋转的性质，将圆心角AOB绕圆心O旋转到AOB的位置时， AOBAOB，射线 OA与OA重合，OB与OB重合而同圆的半径相等，OA=OA，OB=OB，点 A与 A重合，B与B重合OAB探究OABABAB二、 如图，将圆心角AOB绕圆心O旋转到AOB的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？重合，AB与AB重合AB与AB AB=AB 如图，O与O1是等圆，AOB =A1OB1，请问上述结论还成立吗？为什么?O1OABA1B1 AOB=A1OB1AB=A1B1 ，AB=A1B1 .这样，我们就得到下面的定理：圆心角定理： 相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等。在同圆或等圆中， OAABBD D弦AB和弦AB 对应的弦心距有什么关系？由条件:AOB=AOBAB=ABAB=AB OD=OD可推出三、圆心角与弧、弦的关系定理如图: AOBCOD,那么 吗?AB=CD OEF思考: OAABBD D如果AB=AB，那么AOB=AOB，AB=AB， OD=OD吗？ 在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对弦的弦的弦心距相等。 OAABBD D如果AB=AB，那么AOB=AOB，AB=AB， OD=OD吗？ 在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对弦的弦的弦心距相等。 OAABBD D如果OD=OD ，那么AOB=AOB，AB=AB， AB=AB 吗？ 在同圆或等圆中，相等的弦心距所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对弦的弧相等。在同圆或等圆中如果弦相等那么弦所对的圆心角相等弦所对的弧相等弦的弦心距相等在同圆或等圆中如果弦心距相等那么弦心距所对应的圆心角相等弦心距所对应的弧相等弦心距所对应的弦相等在同圆或等圆中如果弧相等那么弧所对的圆心角相等弧所对的弦相等弧所对的弦的弦心距相等(1) 圆心角(2) 弧(3) 弦(4) 弦心距知一得三OAAB BDD在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.OABDABDOABDOABD1、已知：如图，AB、CD是O的两条弦，OE、OF为AB、CD的弦心距，根据本节定理及推论填空： （1）如果AB=CD，那么 _,_,_。 （2）如果OE=OF，那么 _,_,_。 （3）如果AB=CD 那么 _,_,_。 （4）如果AOB=COD，那么 _,_,_。AOB=COD OE=OF AB=CDAOB=COD AB=CD AB=CDAOB=COD AB=CD OE=OFOE=OF AB=CD AB=CD 2、如图，1=2，1对AD，2对BC，问：AD=BC吗？为什么？.OADBC1 2答：不相等，因为AD，BC不是“相等圆心角对等弦”的弦3.下列命题中真命题是（ ）A。相等的弦所对的圆心角相等。B、圆心角相等，所对的弧相等。C、在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等。D、长度相等的弧所对的圆心角相等。4、在O中， = ，B=70，则A= ABA5、如图：AB为O的直径， = = ， COD=35， 则AOE=度。BCCDDEABCDEo解: AC=BD（已知） AB=CD 6、 如图，在O中 AC=BD， ,求2的度数。1=2=45（在同圆中，相等的弧所对的圆心角相等）AC-BC=BD-BC （等式的性质）证明： AB=AC又ACB=60， AB=BC=CA. AOBBOCAOC.ABCO例1 如图, 在O中， ，ACB=60，求证AOB=BOC=AOC.AB AC= AB=AC ABC是等边三角形.例3：已知如图（1）O中，AB、CD为O的弦，1= 2，求证：AB=CD变式练习1：如图（1），已知弦AB=CD，求证： 1= 212ABCDO（1）变式练习2：如图（2）， O中，弦AB=CD，求证：BD=ACABCDO变式练习3：如图（2）， O中，弦BD=AC，猜测A与D的数量关系。（） 已知：AB是O的直径，M.N是AO.BO的中点。CMAB,DNAB,分别与圆交于C.D点。 求证：AC=BD例4：OO=CD例5：已知：如图（1），已知点O在BPD的角平分线PM上，且O与角的两边交于A、B、C、D， 求证：AB=CDOPACDMB（1）变式1：如图（2），P的两边与O交与A、B、C、D，AB=CD求证：点O在BPD的平分线上OPACDB（2）变式2：如图（3），P为O上一点，PO平分APB，求证：PA=PBPABO(3)变式3：如图（4），当P在O内时，PO平分BPD，在o中还存在相等的弦吗？APCBDO（）例6如图，已知OA、OB是O的半径，点C为AB的中点，M、N分别为OA、OB的中点，求证：MC=NC例7、如图，BC为O的直径，OA是O的半径，弦BEOA,求证：AC=AE 例8、如图，AB，AC都是O的弦，且CAB=CBA， 求证：COB=COAOBACOACDBE证明：CAB=CBA（已知），AC=BC（等角对等边）COB=COA（在同一圆中，如果两条弦相等，那么两条弦所对的加以角相等）。例9 、如图，AB，CD是O的两条直径，弦BE=BD求证：AC=BE证明：AB，CD是O的两条直径，AOC=BOD。 AC=BD，又BE=BD， AC=BEAC=BE 例10 、如图7所示，CD为O的弦，在CD上取CE=DF，连结OE、OF，并延长交O于点A、B.（1）试判断OEF的形状，并说明理由；（2）求证：AC=BDEFOABCD例11 、如图，等边ABC的三个顶点A、B、C都在O上，连接OA、OB、OC，延长AO分别交BC于点P，交BC于点D，连接BD、CD.（1）判断四边形BDCO的形状，并说明理由；（2）若O的半径为r，求ABC的边长BCAOPD例12、如图ABC=900，C、D为AB的三等分点，AB分别交OC、OD于EF 求证：AE=BF=CDFEDCOBA例13、如图AB、CD为圆O两条弦，M、N分别为AB、CD的中点，且AMN=CNM 求证：AB=CDNAOMDCB例14、在圆O中，AB=BC=CD,OB、OC分别交AC、DB点M、N. 求证：OMN是等腰三角形DONMACB 例15、以圆O 的直径为一边作等边ABC，AB、AC交圆O于点D、E 求证：BD=DE=ECOEDCBA例13（1）在同圆中，圆心角AOB=2COD,则AB与CD的大小关系为（ ）A.AB=2CDB.AB 2CDC.AB 2CDD.不确定（2）在同圆中，若AB=2CD，则弦AB、CD的大小关系为（ ）A.AB=2CD B.AB 2CD C.AB 2CD D.不确定(3)在同圆中，若弦AB=2CD则AB与CD的大小关系为（ ）A.AB=2CDB.AB 2CDC.AB 2CDD.不确定1弧n1n弧把圆心角等分成360份,则每一份的圆心角是1.同时整个圆也被分成了360份.则每一份这样的弧叫做1的弧.这样,1的圆心角对着1的弧, 1的弧对着1的圆心角. n 的圆心角对着n的弧, n 的弧对着n的圆心角.性质:弧的度数和它所对圆心角的度数相等.小结（2） 所对的圆心角和 所对的圆 心角相等在两个圆中，分别有 , 若 的度数和 相等，则有 （1） 和 相等判 断1.在半径相等的O和O 中,AB和A B 所对的圆心 角都是60. (1)AB和A B各是多少度? (2)AB和A B 相等吗? (3)在同圆或等圆中,度数相度的弧相等.为什么?2.若把圆5等分,那么每一份弧是多少度?若把圆8等分,那么 每一份弧是多少度?3.圆心到弦的距离叫做这条弦的弦心距.求证:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦的弦心距相等. 结束试一试例2：如图，在O中，弦AB所对的劣弧为圆的 ，圆的半径为4cm，求AB的长OABC