第七章 电容元件和电感元件 前几章讨论了电阻电路，即由独立电源和电阻、受控源、理想变压器等电阻元件构成的电路。描述这类电路电压电流约束关系的电路方程是代数方程。但在实际电路的分析中，往往还需要采用电容元件和电感元件去建立电路模型。这些元件的电压电流关系涉及到电压电流对时间的微分或积分，称为动态元件。含动态元件的电路称为动态电路，描述动态电路的方程是微分方程。本章先介绍两种储能元件电容元件和电感元件。再介绍简单动态电路微分方程的建立。以后两章讨论一阶电路和二阶电路的时域分析，最后一章讨论线性时不变动态电路的频域分析。常用的几种电容器71电容元件 一、电容元件 集总参数电路中与电场有关的物理过程集中在电容元件中进行，电容元件是构成各种电容器的电路模型所必需的一种理想电路元件。 电容元件的定义是：如果一个二端元件在任一时刻，其电荷与电压之间的关系由u-q平面上一条曲线所确定，则称此二端元件为电容元件。图7-1(a)电容元件的符号(c)线性时不变电容元件的符号(b)电容元件的特性曲线(d)线性时不变电容元件的特性曲线电容元件的符号和特性曲线如图7-1(a)和(b)所示。其特性曲线是通过坐标原点一条直线的电容元件称为线性电容元件，否则称为非线性电容元件。图7-1线性时不变电容元件的符号与特性曲线如图(c)和(d)所示，它的特性曲线是一条通过原点不随时间变化的直线，其数学表达式为式中的系数C为常量，与直线的斜率成正比，称为电容，单位是法拉,用F表示。图7-1实际电路中使用的电容器类型很多，电容的范围变化很大，大多数电容器漏电很小，在工作电压低的情况下，可以用一个电容作为它的电路模型。当其漏电不能忽略时，则需要用一个电阻与电容的并联作为它的电路模型。在工作频率很高的情况下，还需要增加一个电感来构成电容器的电路模型，如图7-2所示。图7-2电容器的几种电路模型二、电容元件的电压电流关系对于线性时不变电容元件来说，在采用电压电流关联参考方向的情况下，可以得到以下关系式此式表明电容中的电流与其电压对时间的变化率成正比，它与电阻元件的电压电流之间存在确定的约束关系不同，电容电流与此时刻电压的数值之间并没有确定的约束关系。在直流电源激励的电路模型中，当各电压电流均不随时间变化的情况下，电容元件相当于一个开路(i=0)。在已知电容电压u(t)的条件下，用式(6-2)容易求出其电流i(t)。例如已知C=1F电容上的电压为u(t)=10sin(5t)V，其波形如图7-3(a)所示，与电压参考方向关联的电容电流为图7-3在幻灯片放映时，请用鼠标单击图片放映录像。例7-1已知C=0.5F电容上的电压波形如图7-4(a)所示，试求电压电流采用关联参考方向时的电流iC(t),并画出波形图。图74例712.当1st3s时，uC(t)=4-2t，根据式72可以得到1.当0t1s时，uC(t)=2t，根据式72可以得到解：根据图74(a)波形，按照时间分段来进行计算图74例713.当3st5s时，uC(t)=-8+2t，根据式72可以得到4.当5st时，uC(t)=12-2t，根据式72可以得到图74例71根据以上计算结果，画出图74(b)所示的矩形波形。在已知电容电流iC(t)的条件下，其电压uC(t)为其中称为电容电压的初始值,它是从t=-到t=0时间范围内流过电容的电流在电容上积累电荷所产生的电压。 式(73)表示t0某时刻电容电压uc(t)等于电容电压的初始值uc(0)加上t=0到t时刻范围内电容电流在电容上积累电荷所产生电压之和，就端口特性而言，等效为一个直流电压源uc(0)和一个初始电压为零的电容的串联 如图75所示。图75从上式可以看出电容具有两个基本的性质(1)电容电压的记忆性。从式（73）可见，任意时刻T电容电压的数值uC(T)，要由从-到时刻T之间的全部电流iC(t)来确定。也就是说，此时刻以前流过电容的任何电流对时刻T 的电压都有一定的贡献。这与电阻元件的电压或电流仅仅取决于此时刻的电流或电压完全不同，我们说电容是一种记忆元件。例72电路如图76(a)所示，已知电容电流波形如图76(b)所示，试求电容电压uC(t)，并画波形图。图7-6解：根据图(b)波形的情况，按照时间分段来进行计算1当t0时，iC(t)=0，根据式7-3可以得到2当0t1s时，iC(t)=1A，根据式7-3可以得到图7-63当1st3s时，iC(t)=0，根据式73可以得到4当3st5s时，iC(t)=1A，根据式73可以得到5当5st时，iC(t)=0，根据式73可以得到根据以上计算结果，可以画出电容电压的波形如图(c)所示，由此可见任意时刻电容电压的数值与此时刻以前的全部电容电流均有关系。例如，当1st3s时，电容电流iC(t)=0，但是电容电压并不等于零，电容上的2V电压是0t1s时间内电流作用的结果。图7-6图77(a)所示的峰值检波器电路，就是利用电容的记忆性，使输出电压波形如图(b)中实线所示保持输入电压uin(t)波形如图(b)中虚线所示中的峰值。图77峰值检波器电路的输入输出波形(2)电容电压的连续性从例72的计算结果可以看出，电容电流的波形是不连续的矩形波，而电容电压的波形是连续的。从这个平滑的电容电压波形可以看出电容电压是连续的一般性质。即电容电流在闭区间t1,t2有界时，电容电压在开区间(t1,t2)内是连续的。这可以从电容电压、电流的积分关系式中得到证明。 将t=T和t=T+dt代入式(63)中，其中t1Tt2和t1T+dt0时，W(t)不可能为负值，电容不可能放出多于它储存的能量，这说明电容是一种储能元件。由于电容电压确定了电容的储能状态，称电容电压为状态变量。从式(75)也可以理解为什么电容电压不能轻易跃变，这是因为电容电压的跃变要伴随电容储存能量的跃变，在电流有界的情况下，是不可能造成电场能量发生跃变和电容电压发生跃变的。若电容的初始储能为零，即u(t0)=0,则任意时刻储存在电容中的能量为此式说明某时刻电容的储能取决于该时刻电容的电压值，与电容的电流值无关。电容电压的绝对值增大时，电容储能增加；电容电压的绝对值减小时，电容储能减少。 1. 两个线性电容并联单口网络，就其端口特性而言，等效于一个线性电容，其等效电容的计算公式推导如下： 四、电容的串联和并联图710列出图710(a)的KCL方程，代入电容的电压电流关系，得到端口的电压电流关系其中 2. 两个线性电容串联单口网络，就其端口特性而言，等效于一个线性电容，其等效电容的计算公式推导如下： 列出图711(a)的KVL方程，代入电容的电压电流关系，得到端口的电压电流关系图711其中 由此求得 名 称时间名 称时间1电容的电压电流波形4:162电感的电压电流波形2:413回转器变电容为电感2:42根据教学需要，用鼠标点击名称的方法放映相关录像。郁金香常用的几种电感器72电感元件如果一个二端元件在任一时刻，其磁通链与电流之间的关系由i平面上一条曲线所确定，则称此二端元件为电感元件。电感元件的符号和特性曲线如图712(a)和(b)所示。(a)电感元件的符号(c)线性时不变电感元件的符号(b)电感元件的特性曲线(d)线性时不变电感的特性曲线图7-12一、电感元件其特性曲线是通过坐标原点一条直线的电感元件称为线性电感元件，否则称为非线性电感元件。线性时不变电感元件的符号与特性曲线如图(c)和(d)所示，它的特性曲线是一条通过原点不随时间变化的直线，其数学表达式为式中的系数L为常量，与直线的斜率成正比，称为电感，单位是亨利,用H表示。图7-12实际电路中使用的电感线圈类型很多，电感的范围变化很大，例如高频电路中使用的线圈容量可以小到几个微亨(H，1H=10-6H),低频滤波电路中使用扼流圈的电感可以大到几亨。电感线圈可以用一个电感或一个电感与电阻的串联作为它的电路模型。在工作频率很高的情况下，还需要增加一个电容来构成线圈的电路模型，如图713所示。图913电感器的几种电路模型二、电感的电压电流关系对于线性时不变电感元件来说，在采用电压电流关联参考方向的情况下，可以得到此式表明电感中的电压与其电流对时间的变化率成正比，与电阻元件的电压电流之间存在确定的约束关系不同，电感电压与此时刻电流的数值之间并没有确定的约束关系。在直流电源激励的电路中，磁场不随时间变化,各电压电流均不随时间变化时，电感相当于一个短路(u=0)。在已知电感电流i(t)的条件下，用式(710)容易求出其电压u(t)。例如L=1mH的电电感上，施加电流为i(t)=10sin(5t)A时，其关联参考方向的电压为电感电压的数值与电感电流的数值之间并无确定的关系，例如将电感电流增加一个常量k，变为i(t)=k+10sin5tA时，电感电压不会改变，这说明电感元件并不具有电阻元件在电压电流之间有确定关系的特性。例75电路如图714(a)所示，已知L=5H电感上的电流波形如图714(b)所示，求电感电压u(t),并画出波形图。图714例752.当0t3s时，i(t)=2103t，根据式710可以得到解：根据图615(b)波形，按照时间分段来进行计算1.当t0时，i(t)=0，根据式710可以得到图714例753.当3st4s时， i(t)=24103-6103t，根据式710可以得到4.当4st 时，i(t)=0，根据式710可以得到图714例75根据以上计算结果，画出相应的波形，如图714(c)所示。这说明电感电流为三角波形时，其电感电压为矩形波形。图714在已知电感电压uL(t)的条件下，其电流iL(t)为其中称为电感电压的初始值,它是从t=-到t=0时间范围内电感电压作用于电感所产生的电流。 式(711)表示t0的某时刻电感电流iL(t)等于电感电流的初始值iL(0)加上t=0到t时刻范围内电感电压在电感中所产生电流之和，就端口特性而言，等效为一个直流电流源iL(0)和一个初始电流为零的电感的并联，如图715所示。图715从式(711)可以看出电感具有两个基本的性质。(1)电感电流的记忆性。从式（68）可见，任意时刻T电感电流的数值iL(T)，要由从-到时刻T之间的全部电压来确定。也就是说，此时刻以前在电感上的任何电压对时刻T的电感电流都有一份贡献。这与电阻元件的电压或电流仅取决于此时刻的电流或电压完全不同，我们说电感是一种记忆元件。例76电路如图716(a)所示，电感电压波形如图716(b)所示，试求电感电流i(t),并画波形图。图716解：根据图(b)波形，按照时间分段来进行积分运算1.当t0时，u(t)=0，根据式711可以得到2.当0t1s时，u(t)=1mV，根据式711可以得到图7163.当1st2s时，u(t)=-1mV，根据式711可以得到4.当2st3s时，u(t)=1mV，根据式711可以得到5.当3st0时，电感吸收功率；当p0时，电感发出功率。电感在从初始时刻t0到任意时刻t时间内得到的能量为若电感的初始储能为零，即i(t0)=0,则任意时刻储存在电感中的能量为此式说明某时刻电感的储能取决于该时刻电感的电流值，与电感的电压值无关。电感电流的绝对值增大时，电感储能增加；电感电流的绝对值减小时，电感储能减少。由于电感电流确定了电感的储能状态，称电感电流为状态变量。从式(713)也可以理解为什么电感电流不能轻易跃变，这是因为电感电流的跃变要伴随电感储存能量的跃变，在电压有界的情况下，是不可能造成磁场能量发生突变和电感电流发生跃变的。四、电感的串联和并联 1. 两个线性电感串联单口网络，就其端口特性而言，等效于一个线性电感，其等效电感的计算公式推导如下： 其中 列出图718(a)的KVL方程，代入电感的电压电流关系，得到端口电压电流关系图718 2. 两个线性电感并联单口网络，就其端口特性而言，等效于一个线性电感，其等效电感的计算公式推导如下： 其中 列出图719(a)单口网络的KCL方程，代入电感的电压电流关系，得到端口的电压电流关系图719由此求得 二端电阻，二端电容和二端电感是三种最基本的电路元件。它们是用两