.长春市普通高中2019届高三质量监测（一）数学试题卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数A. B. C. D. 2.已知集合，则满足条件的集合的个数为A. B. C. D. 3.函数的最大值为，A. B. C. D.4.下列函数中是偶函数，且在区间上是减函数的是A. B. C. D. 5.已知平面向量、，满足，若，则向量、的夹角为A. B. C. D. 6.已知等差数列中，为其前项的和，则A. B. C. D. 7.在正方体中，直线与平面所成角的正弦值为A. B. C.D. 8.要将甲、乙、丙、丁4名同学分到、三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则甲被分到班的分法种数为，A. B. C. D. 9.某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：厘米），左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为，以下结论中不正确的为1901851801751701651601551501451 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15身高臂展A. 15名志愿者身高的极差小于臂展的极差B. 15名志愿者身高和臂展成正相关关系，C. 可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米，D. 身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米，10.我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一头五升（注：一斗为十升）.问,米几何？”如图是解决该问题的程序框图,执行该程序框图,若输出的(单位:升)，则输入的值为，A. B. C. D. 是否开始输入输出结束11.已知双曲线的两个顶点分别为、，点为双曲线上除、外任意一点，且点与点、连线的斜率分别为、，若，则双曲线的渐进线方程为，A. B. C. D. 12.已知函数是定义在上的函数，且满足，其中为的导数，设，则、的大小关系是A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.14.若椭圆的方程为，则其离心率为.15.各项均为正数的等比数列的前项和为，已知，,则.16.已知所有棱长都相等的三棱锥的各个顶点同在一个半径为的球面上，则该三棱锥的表面积为.三、解答题：共70份，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答，第2223选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.(本小题满分12分) 在中，内角、的对边分别为、，已知.(1)求角；(2)若,求的最小值.18.(本小题满分12分) 在四棱锥中,平面平面，,四边形是边长为的菱形，,是的中点.(1)求证:平面；(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.19.(本小题满分12分) 平面直角坐标系中，为坐标原点，已知抛物线的方程为.(1)过抛物线的焦点且与轴垂直的直线交曲线于、两点，经过曲线上任意一点作轴的垂线，垂足为.求证:；(2)过点的直线与抛物线交于、两点且，.求抛物线的方程.20.(本小题满分12分)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位:)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.（1）求六月份这种酸奶一天的需求量(单位:瓶)的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为(单位:元)，当六月份这种酸奶一天的进货量（单位：瓶）为多少时？的数学期望达到最大值？21.(本小题满分12分) 已知函数.（1）当且时，试判断函数的单调性；（2）若且，求证：函数在上的最小值小于；（3）若在单调函数，求的最小值.（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修4-4 坐标系与参数方程选讲 已知直线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.（1）求圆的直角坐标方程；（2）若直线与圆相交于、两点，且，求的值.23.(本小题满分10分)选修4-5 不等式选讲已知，.(1)求证：；(2)求证：.长春市普通高中2019届高三质量监测（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.C【命题意图】本题考查复数的运算. 【试题解析】C.故选C. 2.D【命题意图】本题考查集合运算. 【试题解析】D有.故选D. 3.A【命题意图】本题考查三角函数的相关知识.【试题解析】A由题意可知函数最大值为. 故选A.4.B【命题意图】本题主要考查函数的性质.【试题解析】B由函数是偶函数，排除C，在上是减函数，排除A，D.故选B.5.C【命题意图】本题考查平面向量的相关知识.【试题解析】C由题意知.故选C.6.C【命题意图】本题主要考查等差数列的相关知识. 【试题解析】C.故选C7.D【命题意图】本题考查线面成角.【试题解析】D由题意知成角为.故选D. 8.B【命题意图】本题主要考查计数原理的相关知识. 【试题解析】B由题意可分两类，第一类，甲与另一人一同分到A，有6种；第二类，甲单独在A，有6种，共12种.故选B. 9.D【命题意图】本题主要考查统计相关知识. 【试题解析】D由统计学常识可知，D选项正确.故选D. 10.D【命题意图】本题主要考查中华传统文化. 【试题解析】D由题可知.故选D. 11.C【命题意图】本题考查双曲线的相关知识. 【试题解析】C由题意可知，从而渐近线方程为.故选C. 12.A【命题意图】本题是考查导数在研究函数单调性上的应用. 【试题解析】A令，所以在定义域内单调递增，从而，得，即. 故选A.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.【命题意图】本题考查对数运算.【试题解析】由题意可知值为.14. 【命题意图】本题考查椭圆的相关知识.【试题解析】. 15.【命题意图】本题考查等比数列的相关知识.【试题解析】由题意可得，得. 16. 【命题意图】本题考查球的相关知识. 【试题解析】由题意可知其.三、解答题17.(本小题满分12分)【命题意图】本题考查解三角形的基本方法. 【试题解析】解：（1）由可得，所以.（2）由（1）及得，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为.18.(本小题满分12分)【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识. 本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.【试题解析】解：（1）连接，由，是的中点，得，由平面平面，可得平面，又由于四边形是边长为2的菱形，所以，从而平面.（2）以为原点，为轴，建立空间直角坐标系，有，令平面的法向量为，由，可得一个，同理可得平面的一个法向量为，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.19.(本小题满分12分)【命题意图】本小题考查抛物线的相关知识.【试题解析】答案：（1）设，从而. （2）由条件可知，联立直线和抛物线，有，有，设，由有，有，由韦达定理可求得，所以抛物线. 20.(本小题满分12分)【命题意图】本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望.【试题解析】（1）由题意知，所有可能取值为200,300,500，由表格数据知，.因此的分布列为0.20.40.4（2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑.当时，若最高气温不低于25，则；若最高气温位于区间，则；若最高气温低于20，则；因此.当时，若最高气温不低于20，则；若最高气温低于20，则；因此.所以n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元.21.(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】解：（1）由题可得，设，则，所以当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，所以，因为，所以，即，所以函数在上单调递増.（4分）（2）由（1）知在上单调递増，因为，所以，所以存在，使得，即，即，所以函数在上单调递减，在上单调递増，所以当时，.令，则恒成立，所以函数在上单调递减，所以，所以，即当时，故函数在上的最小值小于. （8分）（3），由为上的单调函数，可知一定为单调增函数因此，令，当时，；当时，在上为增函数时,与矛盾 当时,当时,，令，则当时,的最小值为. （12分）22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识.【试题解析】 （1）圆C的直角坐标方程为.（2）将直线的参数方程代入到圆C的直角坐标方程中，有，由得，所以或. 23.(本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到基本不等式等内容. 本小题重点考查化归与转化思想.【试题解析】（1）. （2），故. 7 / 7