第二节 曲线的概念 2、1 曲线的概念 2、曲线 一个开直线段到三维欧氏空间内建立的一个一一的，双方连续的在上的映射 f （拓扑映射或同胚）下的象叫简单曲线段。 1、映射 给出两个集合E ， ，法则f ，如果通过 E 中每个点 （或元素）x ，有 中唯一的点 与之对应，则说 f 为从 E 到 的映射， 为象， x为原象。 一一映射（单射）：不同元素的象不同。 在上映射（满射）： 中元素都有原象。 双方连续的：一个映射以及它的逆映射都连续。 3、曲线的参数方程 坐标式 向量式 例1、 开园弧 例2、园柱螺线 或 例书中的开园和园柱螺线。2、2 光滑曲线 曲线的正常点 1、光滑曲线 如果曲线的参数表示式中的函数是 k 阶连续可微的函数，则把这曲线称为 类曲线。 类的曲线又称为光滑曲线。 2、正常点 曲线上满足一阶导矢不为零的点叫曲线的正常点。即若t0 为曲线的正常点，则由于所以 中至少有一个不为零2、3 曲线的切线和法面2、切线的方程（设曲线上的点都有是正常点） 设切线上任一点的径矢为 则 设 则 3、例 求园柱螺线上一点处的切线。 1、切线 割线的极限 切向量4、法面 经过切点且垂直于 切线的平面。5、法面的方程 设 是法面上任一点，则 或 例题 求园柱螺线的法面方程2、4 曲线的弧长 自然参数 给出 类曲线（C）：作分点 Pi 得折线，长为得弧长若用 表 a 到 t 的弧长，则 这里的积分上限大于下限，所得的曲线的弧长总是正值。 弧长公式为 即可写成现在定义一新函数 s(t) 为： s(t) = 0 , t = a , 得 而且s(t) 是 t 的单调增加函数（ ），它的反函数存在设为 t = t(s) ，代入曲线方程得到以 s 为参数的曲线方程或 x = x (s) , y = y(s) , z = z(s) , s 称为自然参数。记对 s(t) 微分得 此外还有 ，因此 为单位切向量。练习10 将园柱螺线化为自然参数表示。