第6篇讲义桥梁结构分析计算机方法第一节 有限单元法概述第二节 两个问题的基本算法第一章 绪论第一节 有限单元法概述一、概述桥梁结构分析最经典的方法是解析法，但能用解析法求出精确解的只是少数简单的问题。变截面梁、高次超静定结构、柔性结构等，用解析法求解不但耗费大量时间和人力，有时甚至是不可能的。随着计算机的发展和广泛应用，一种适合于计算机数值求解的方法有限元法应运而生。第一章 概述 第一节 有限单元法概述有限元法是结构分析矩阵法的推广。结构矩阵法的基本思想就是以节点位移或节点内力作为未知数，或者以节点位移和内力混合变量作为未知数，利用在各个结构构件节点上的位移和内力的关系，列出方程组，求解得到问题的解。有限元法可以解各类力学问题，包括受拉、压的杆，受弯、扭的梁，平面应力、平面应变和平面轴对称问题，板、壳和块体三维受力问题以及流体力学问题等，材料可以是弹性的或者是弹塑性的，各向同性或各向异性的，可求解静力的或动力的问题。第一章 概述 第一节 有限单元法概述有限元法步骤一、结构离散将求解区域变成有限元模型1用所选单元划分有限元网格，给节点、单元编号2选定整体坐标系，测量节点坐标3准备好单元几何尺寸、材料常数二、单元分析建立单元平衡方程组1在典型单元内选定位移函数，并将它表示成节点位移的插值形式2用虚功原理或变分法推导单元平衡方程3求每个单元的单元刚度矩阵三、整体分析形成和求解整体平衡方程组1单元组合集成整体刚度矩阵、节点位移列向量和节点载荷列向量，形成整体平衡方程组2引入边界条件，求解节点位移3后处理计算。根据需要计算变形、应力和反力等二 有限单元法的分析步骤第一章 概述 第一节 有限单元法概述 连续问题 无限自由度问题 微分方程问题 离散问题 有限自由度问题 代数方程问题离散化结构单元分解合成刚架分析的矩阵位移法弹性力学的 有限元法移植第一章 概述 第一节 有限单元法概述三、用于桥梁有限元分析的软件桥梁结构基本受力性能的分析一般采用平面杆系有限元法，桥梁分析专用程序应具备以下基本功能：模拟施工过程的结构分析。可按施工过程逐步形成多层组合截面。结构初始位移和单元初始内力可选取。方便预应力的施加。方便单元添加、拆除及体系转换。能够作温度、收缩、徐变效应的计算。活载自动加载。自动完成各种荷载组合。正常使用和承载能力极限状态的验算。输入数据和计算结果的可视化。桥梁分析专用程序第一章 概述 第一节 有限单元法概述2、通用分析软件（1）SAP系列（Structural Analysis Program），是线弹性结构有限元静动力分析软件，具备各种单元库，能解决各类结构的内力计算问题。具备强大的前后处理功能，能自动生成网络，可以给出结构的变形图和应力等值线图。（2）ANSYS软件，是融结构、流体、电场、磁场、声场分析于一体的大型通用有限元分析软件。ANSYS软件主要包括三个部分：前处理模块、分析计算模块和后处理模块。前处理模块提供了一个强大的实体建模以及网格划分工具；后处理模块可将计算分析结果以彩色等值线显示、梯度显示、矢量显示、立体切片显示、透明及半透明显示，也可以将计算结果以图表、曲线形式显示或输出。软件提供了包括梁单元、桁架单元、弹簧单元、索单元、板单元、块单元以及超单元等多种单元在内的100多种单元类型，可用来模拟工程中的各种结构和材料。第一章 概述 第一节 有限单元法概述第二节 两个问题的基本算法一、截面特性计算的梯形分块法图 6-1-1 各种形状的截面类型 图 6-1-2 任意截面计算示意图 第一章 概述 第二节 两个问题的基本算法截取一面积元素dA，则ydA和y2dA称为该面积元素dA对x轴的面积矩和惯性矩，而以下两个积分： （6-1-1） 如果区域A可剖分为n个子区域 ，即 （6-1-2） 有的截面A，可以剖分为若干个梯形面积之和，则式（6-1-2）称之为梯形分块法；有的截面，可以剖分为若干三角形面积之和，则式（6-1-2）称之为三角形分块法。 第一章 概述 第二节 两个问题的基本算法1.梯形的几何特性面积： （6-1-3） 形心位置： （6-1-4） 对形心轴的惯性矩： （6-1-5） 当a=0或者b=0时，梯形就变成了三角形，上述公式仍适用。图 6-1-3 梯形几何要素示意图 第一章 概述 第二节 两个问题的基本算法2.断面描述图 6-1-4 N号截面的梯形分块法描述以左图为分析对象，从下至上可以将截面剖分成若干个连续排列的梯形。设：NJM：截面总数NVO(N)：第N个截面结线总条数，即分隔梯形的总线数。BB(N,I)：结线宽度数组，I从1-NVO(N)；HB(N,I)：结线高度数组，I从1-NVO(N)，指各结线到梁底的距离。左图NOV（N）=7，由6个梯形组成，对于第i个梯形，其下底宽b=BB(i)（第i结线宽度），上底宽a=BB(i+1)（第i+1结线的宽度），高h=H(i+1)-H(i)，其中第2个梯形高度为0。第一章 概述 第二节 两个问题的基本算法3.求N号截面的面积和重心第一章 概述 第二节 两个问题的基本算法N号截面有NVO（N）根结线，共有（NVO（N）-1）个小梯形，对其中任意一个梯形（I）而言，上底结点为I+1，下底结线为I，参考图 6-1-3和图6-1-4，得到：I从1NVO(N)-1循环 （对所有梯形） 上底 ，下底 梯形高： 面 积： 迭 加： 重 心： 对梁底面积矩： 循环结束时，可以得到第N个截面形心到梁底的距离（形心位置）4.求N号截面的惯矩EI(N)第一章 概述 第二节 两个问题的基本算法由自身惯矩和对形心轴的惯性矩两部分组成，以下式中变量（AS、BX、DA）同前： I=1NVO(N)-1 对所有梯形循环 1、自身惯矩 2、对形心轴的惯性矩 3、迭加： 至此，已求出第N个截面的惯性矩EI(N)。梯形分块法是用叠加方法，先逐块计算出梯形的面积及对断面底边的面积矩，然后叠加，循环结束时，得到截面面积及中性轴位置，进而再用叠加法求出惯性矩。 $DEBUG COMMON/C7/EA(20),EI(20),TZB(20) COMMON/C8/HB(20,20),BB(20,20),STH(20) DIMENSION NVO(20)C OPEN(1,FILE=JMTX.INP) READ(1,*)NJM DO 1 I=1,NJM READ(1,*)NVO(I) READ(1,*)(BB(I,J),J=1,NVO(I) READ(1,*)(HB(I,J),J=1,NVO(I)1 CONTINUE CLOSE(1)5.计算程序第一章 概述 第二节 两个问题的基本算法C CALL JMTX(NJM,NVO) STOP ENDC SUBROUTINE JMTX(NJM,NVO) COMMON/C7/EA(20),EI(20),TZB(20) COMMON/C8/HB(20,20),BB(20,20),STH(20) DIMENSION NVO(20) DO 10 N=1,NJM TZ=0 EA(N)=0 EI(N)=0第一章 概述 第二节 两个问题的基本算法 DO 3 I=1,NVO(N)-1 AS=BB(N,I+1) BX=BB(N,I) STH(I)=HB(N,I+1)-HB(N,I) DA=(AS+BX)*STH(I)/2 EA(N)=EA(N)+DA YP=STH(I)*(2*AS+BX)/3/(AS+BX) TZ=TZ+DA*(YP+HB(N,I)3 CONTINUE TZB(N)=TZ/EA(N)第一章 概述 第二节 两个问题的基本算法C DO 4 I=1,NVO(N)-1 AS=BB(N,I+1) BX=BB(N,I) STH(I)=HB(N,I+1)-HB(N,I) DA=(AS+BX)*STH(I)/2 YP=STH(I)*(2*AS+BX)/3/(AS+BX) TI=STH(I)*3*(BX*2+AS*2+4*AS*BX)/36/(AS+BX) TZ=DA*(TZB(N)-YP-HB(N,I)*2 EI(N)=EI(N)+TI+TZ4 CONTINUE第一章 概述 第二节 两个问题的基本算法C WRITE(*,(5X,A,I2,3(A,E12.3) # SECTION NO.,N, A=,EA(N), # I=,EI(N), Yx=,TZB(N) 10 CONTINUE RETURN END第一章 概述 第二节 两个问题的基本算法二、对称带状稀疏线性方程组的解法1.分解回代法解线性方程组（6-1-6） 其中第一章 概述 第二节 两个问题的基本算法其中A为结构总体矩阵，一般是刚度矩阵或柔度矩阵，为高阶、稀疏、带状、对称、正定矩阵。x一般为待求变量列阵，而B一般为荷载效应列阵，随荷载不同而发生变化。对于大型方程组的求解，一般采用乔列斯基分解法。乔列斯基分解法的基本思想是将解方程的过程分两步走：首先把矩阵A进行分解，随后结合右端项列阵进行回代求解。这样，对于不同工况的右端项，只需反复进行简单的回代求解即可，这样就省去了大量的计算工作量。第一章 概述 第二节 两个问题的基本算法（1）将A分解 正定对称矩阵A可以分解成如下形式：（6-1-8） 第一章 概述 第二节 两个问题的基本算法第一章 概述 第二节 两个问题的基本算法矩阵相乘，可以得到如下递推公式：第一行：第二行：第三行：第j行：写成一般形式 （6-1-9） 第一章 概述 第二节 两个问题的基本算法（2）回代，求解方程组（6-1-10） （6-1-11） 左乘令：展开得第一章 概述 第二节 两个问题的基本算法（6-1-12） 自上而下回代 左乘第一章 概述 第二节 两个问题的基本算法自下而上回代（6-1-13） 分解了矩阵A之后，对于不同的荷载工况即每一个不同的B列阵，只需通过以上两个回代过程就能很快解出方程组。第一章 概述 第二节 两个问题的基本算法（3）程序框图第一章 概述 第二节 两个问题的基本算法2.一维变带宽存贮大型对称带状矩阵考察结构总体矩阵A 发现：根据互等定律，矩阵对称，且矩阵中含有大量的零元素，矩阵阶数越高，零元素所含比例越高。非零元素均集中在对角线周围。根据上述特性，采用一维变带宽存放二维数组的下三角矩阵的方法，就可以节省相当大的存储单元，并且不失矩阵的唯一性。 计算机存贮A矩阵和解方程组的步骤如下：一维压缩存贮，去掉零元素找到对应元素地址号码代入分解回代过程解方程组得到结果。第一章 概述 第二节 两个问题的基本算法3.计算程序$DEBUG COMMON/C1/ROD(50),P(10),IV(10) OPEN(1,FILE=IBMIV.INP) READ(1,*)KK,M READ(1,*)(IV(I),I=1,KK) READ(1,*)(P(I),I=1,KK) READ(1,*)(ROD(I),I=1,IV(KK) CLOSE(1)C CALL LDLT(KK) CALL SOLVE(KK,M)C DO 1 I=1,KK1 WRITE(*,(10X,A,I1,A,F5.2)P(,I,)=,P(I) STOP END第一章 概述 第二节 两个问题的基本算法C SUBROUTINE LDLT(N) （矩阵分解） INTEGER V,VI,H,VJ,VK,BM COMMON/C1/R(50),B(10),V(10) DIMENSION T(100) DO 80 I=2,N VI=V(I) H=I+1+V(I-1)-VI DO 80 J=H,I VJ=V(J) IF(J.EQ.1)L=1 IF(J.NE.1)L=J+1+V(J-1)-VJ IF(L.LT.H)L=H J1=J-1 IF(L.GT.J1)GOTO 55 DO 50 K=L,J1 IK=I-K VK=VJ-J+K50 S=S+T(IK)*R(VK)55 IF(I-J)70,60,7060 R(VI)=R(VI)-S GOTO 8070 IJ=VI-I+J JI=I-J T(JI)=R(IJ)-S R(IJ)=T(JI)/R(VJ)80 CONTI