第6章计算机控制系统的控制规律剖析第6章计算机控制系统的控制规律(2)剖析图6.8 数字控制系统结构框图D(z)数字控制器； Gh(s)保持器(本书用零阶保持器)；G0(s)控制对象传递函数； (z)系统闭环脉冲传递函数；R(z)输入信号的Z变换； Y(z)输出信号的Z变换。设计步骤： (1) 根据控制系统的性能指标要求和其他约束条件， 确定所需的闭环脉冲传递函数(z)。 (2) 求广义对象(零阶保持器和对象)的脉冲传递函数HG(z), (6-10) (3) 求取数字控制器的脉冲传递函数D(z)。由图可得系统闭环脉冲传递函数为 (6-11) 由式(6-11)可得数字控制器的脉冲传递函数 (6-12) (4) 实现D(z)，编写控制算法。 实现D(z)即根据D(z)求取控制算法的递推计算公式u(k)，并编写程序求u(k)。6.4.1 最少拍无差系统的设计1. 最少拍系统的脉冲传递函数 典型的最少拍随动系统如图所示。图6.9 最小拍随动系统结构框图最少拍随动系统的误差传递函数为 (6-14) 由式(6-13)和式(6-14)可得出最少拍随动系统的数字控制器为 (6-15) 或 (6-16)由数字控制系统理论可知，其闭环脉冲传递函数为 (6-13)在一般的自动控制系统中， 有3种典型输入形式。 (1) 单位阶跃输入: (6-17) (2) 单位速度输入: (T为采样周期) (6-18) (3) 单位加速度输入: (T为采样周期) (6-19) 由式(6-17)、 式(6-18)和式(6-19)可得出调节器输入共同的Z变换形式 (6-20)将式(6-20) 代入式(6-14)得 为使E(z)有尽可能少的有限项，要选择适当的Ge(z)。利用Z变换的终值定理，稳态误差为上式表明，使e(kT)为零的条件是Ge(z)中包含(1-z-1)m的因子。例如选择 Ge(z)=(1z1)MF(z) (Mm)(6-21)当选择M=m，且F(z)=1时，不仅可以简化数字控制器，降低阶数，而且还可以使E(z)的项数最少，因而调节时间ts最短。 F(z)=1 的意义是使(z)的全部极点均位于Z平面的原点。据此对于不同的输入，可以选择不同的误差传递函数Ge(z)，详见表6-4，实现最少拍无差系统。 表6-4 3种典型输入的最少拍系统2. 最少拍系统数字控制器的设计方法 最少拍系统数字控制器的设计，就是根据式(6-16)求出其脉冲传递函数D(z)， 其中，误差传递函数Ge(z)可根据输入函数的形式由表6-4查出，广义对象脉冲传递函数HG(z)则需要根据被控对象的实际数学模型，由Z变换公式求出，然后代入式(6-16)即可。 【例6-1】 设最少拍系统如前图所示。被控对象的传递函数为，采样周期Ts，试设计一个在单位速度输入时的最少拍数字控制器D(z)。 解： 根据前图可写出该系统的广义对象脉冲传递函数为在单位速度输入下，由表6-4查得 Ge(z)=(1z1)2 所以，由式(6-16)可写出数字控制器的脉冲传递函数为 下面分析数字控制器D(z)对系统的控制效果的影响。 设(z)按单位速度输入时，由表6-4可以查出系统闭环脉冲传递函数为 (z)=2z1z2此时，系统输出序列的Z变换为 (6-22) 式中各项系数为在各个采样时刻的数值，即 Y(0)=0T， Y(T)=0T， Y(2T)=2T， Y(3T)=3T， Y(4T)=4T， 其输出曲线如下图所示。从图中可看出，当系统为单位速度输入时，经过两拍以后，输出量完全等于输入采样值，即Y(kT)=R(kT)。但在各采样点之间还存在着一定的误差，即存在着一定的纹波。 图6.10 单位速度输入时最少拍系统输出响应曲线设输入为单位阶跃函数，系统输出序列的Z变换为 (6-23) 由式(6-23) 得输出序列为 Y(0)=0，Y(T)=2，Y(2T)=1，Y(3T)=1，Y(4T)=1， 其输出响应曲线如图所示。由图可见，对于按单位速度输入设计的最少拍系统，当为单位阶跃输入时，经过两个周期使Y(kT)=R(kT)。但当k=1时，将有一定的超调量。 图6.11 单位阶跃输入时最少拍系统输出响应曲线若输入为单位加速度，则输出量的Z变换为 (6-24) 由式(6-24) 可得 Y(0)=0，Y(T)=0，Y(2T)=T2，Y(3TT2，Y(4T)=7T2， 输入序列R(0)=0，R(TT2，R(2T)=2T2，R(3TT2，(4T)=8T2, 。可见，输出响应与输入之间始终存在着偏差，如图所示。 图6.12 单位加速度输入时最少拍系统输出响应曲线结果分析：1）在各种典型输入作用下，动态过程均为二拍；2）单位阶跃和速度输入在采样时刻均无稳态误差，但加速度输入有稳态误差；3）单位速度输入的动态特性较好，单位阶跃输入的动态特性较差；4）在非采样时刻输出存在纹波。结论：最少拍无差系统的调节时间，只与所选择的(z)和Ge(z)的形式有关，而与典型输入信号的形式无关。即最小拍无差系统对输入信号变化的适应性较差。说明： 在最少拍系统D(z)的设计过程中，对被控对象HG(z)并未提出具体限制。实际上只有当广义对象的脉冲传递函数HG(z)稳定时，即在单位圆上（除(1, j0)外）或圆外没有零点、 极点，而且不含有纯滞后环节z1时，所设计的最少拍系统才是正确的。此被控对象被称为理想的被控对象。 但如果上述条件不能满足，被控对象为非理想的被控对象，应对上述的设计原则做一些相应的限制。非理想被控对象的稳定性分析：1）采样点上的稳定性 由式(6-16)可导出系统闭环脉冲传递函数为 (z)=D(z)Ge(z)HG(z) (6-25) 为了保证离散闭环系统稳定，其闭环脉冲传递函数(z)的所有极点必须在单位圆内，称离散系统在采样点上是稳定的。2）计算机控制系统的稳定性 由于计算机控制系统所控制的是连续变化的模拟参数，在保证系统采样点上稳定的前提下，还进一步要求系统的连续输出也是稳定的。以保证整个计算机控制系统的稳定。由于系统的连续输出的稳定与D(z)、U(z)有关，因此要求D(z)、U(z)的所有极点也必须在单位圆内。 (6-26)综上所述，闭环脉冲传递函数(z)和误差传递函数Ge(z)的选择必须有一定的限制。 (1) 数字控制器D(z)在物理上应是可实现的有理多项式， 即 (6-27) 其中， (j=1,2, ,n) 和 (i=1,2, ,m)为常系数，且nm。(2) HG(z)所有的不稳定极点都应由Ge(z)的零点来抵消。 (3) HG(z)中在单位圆上或单位圆外的零点都应包含在(z)=1Ge(z)中(这将导致调整时间的延长) 。 (4) 若HG(z)中包含纯滞后环节z ，则(z)=1Ge(z)应中也应包含z 因子对纯滞后进行补偿。按照上述设计思想，拟定(z)和Ge(z)形式： （6-28） 用以补偿纯滞后； 是HG(z)中的第i个单位圆上或单位圆外的零点； F(z)是不包含 因式的 多项式，其项数及每项前的待定系数按照系统的结构约束，随着(z)的变化而变化； 是HG(z)中的第k个不稳定的极点【例6-2】 设最少拍系统如前图所示。被控对象的传递函数，设采样周期Ts，试设计一个在单位阶跃输入时的最少拍数字控制器D(z)。 解 该系统广义对象的脉冲传递函数为 (6-29)为了满足条件(3)、条件(4)，要求闭环脉冲传递函数(z)中包含z1)项及因子z1。又因为式(6-27)中包含一个极点(z=1)在单位圆上，因此，根据限制条件(2)，Ge(z)必须有一个z=1的零点。故可得 (6-30) 方程组(6-28)中，a，b为待定系数。 由上述方程组可得 (1b)z1+bz2=az1az2 比较等式两边的系数，可得 由此可解得待定系数 a， b=0.597 代入方程组，则 于是，由式(6-16)可求出数字控制器的脉冲传递函数为 上述数字控制器物理上是可以实现的。离散系统经过数字校正后，在单位阶跃作用下，系统输出响应的Z变换为 由此可得，Y(0)=0，Y(T，Y(2T)=Y(3T)=Y(4T)=1。 其输出响应特性曲线如图所示。由于闭环传递函数包含了一个单位圆外的零点，所以系统的调节时间延长到了两拍。 图6.13 单位阶跃输入时最少拍系统输出响应曲线6.4.2 最少拍无纹波系统的设计 在上一节介绍的最少拍无差系统设计方法中，系统对输入信号变化的适应能力较差，输出响应只保证采样点上的误差为零，不能确保采样点之间的误差值也为零。也就是说，在最少拍系统中，系统的输出响应在采样点之间有纹波存在。 输出纹波不仅会造成误差，而且还会消耗执行机构的驱动功率，增加机械磨损。 因此，人们希望系统的输出响应要快，同时在采样点之间没有纹波，这就是最少拍无纹波系统。 1. 产生纹波的原因 在数字控制器的输出端，经采样开关后达不到相对稳定，即U(z)值不稳定，因而使系统输出Y(t)在采样点之间产生波动。如果输入偏差E(z)=0，保持器的输入脉冲序列为一恒定值，那么输出量Y(t)就不会在非采样点之间产生纹波。 由此可知，最少拍无纹波系统除保证输出为最少拍外，还必须使U(z)稳定，就是说要求U(z) 为z-1的有限多项式。 由图可以看出 U(z)=D(z)E(z)=D(z)Ge(z)R(z) (6-31)已知在最小拍设计时，Ge(z)的零点完全可以对消R(z)的极点，因此(6-29)表明只要D(z)Ge(z)为z-1的有限多项式，U(z) 也为z-1的有限多项式，从而保证系统无纹波的输出。 已知 ，设广义被控对象的脉冲传递函数为其中， P(z)为HG(z)的零点多项式； Q(z)为HG(z)的极点多项式，则有在上式中， Q(z)总是有限的多项式，不会妨碍D(z)Ge(z)成为z-1的有限多项式，然而P(z)则不然。所以D(z)Ge(z)成为z-1的有限多项式的条件是:(z) 的零点必须抵消HG (z) 的全部零点，即有其中， M(z)为待定的z-1多项式。由此可得到无纹波最小拍系统的附加条件： 当要求最小拍系统无纹波时，闭环系统脉冲传递函数(z) 除了应满足最小拍要求外，其附加条件是(z)还必须包含HG(z)的全部零点，而不论这些零点在z 平面的何处。说明：由于最小拍系统设计的要求是HG(z)在单位圆上及单位圆外无零极点，或可被(z) 或Ge(z)所补偿，所以附加条件要求的(z)包含HG(z)在单位圆内的零点数，就是无纹波最小拍系统比有纹波最小拍系统所增加的拍数。按照上述附加设计条件(1) ，进一步拟定(z)和Ge(z)形式： （6-32） 用以补偿纯滞后； 是HG(z)中的第i个不稳定的零点， 是HG(z)中的第j个稳定的零点； F(z)是不包含 因式的 多项式，其项数及每项前的待定系数按照系统的结构约束，随着(z)的变化而变化； 是HG(z)中的第k个不稳定的极点。2. 最少拍无纹波系统设计举例 如前所述，为了使U(kT)为有限拍，应使D(z)Ge(z)为z1的有限多项式。由式(6-16)可得 (6-33) 由式(6-33)可以看出，HG(z)的极点不会影响D(z)Ge(z)成为z1的有限多项式，而HG(z)的零点则有可能使D(z)Ge(z)成为z1的无限多项式。因此，要使(z)的零点包含HG(z)的全部零点，在最少拍随动系统中，则只要求(z)包括HG(z)的单位圆上(zi=1除外)和单位圆外的零点，这是有无纹波系统设计与最少拍随动系统设计之间的根本区别。【例6-3】设图所示的最少拍随动系统中，假设被控对象为， 采样周期T=1s，试设计一个单位阶跃输入时的最少拍无纹波控制器D(z)。 解 广义对象的传递函数为 经Z变换后可得广义对象的脉冲传递函数为 (6-34)由式(6-34)可知，HG(z)具有z1因子、零点z1=和单位圆上的极点p1=1。根据前面的分析，闭环传递函数(z)应包括z1因子和HG(z)的全部零点，所以有 (z)=1Ge(z)=az1z1) (6-35) Ge(z)应由输入HG(z)的不稳定极点和(z)的阶次决定，所以 Ge(z)=(1z1)(1+bz1) (6-36) 将