数列第 五 章第29讲讲等比数列及其前n项项和考纲要求考情分析命题趋势1.理解等比数列的概念2掌握等比数列的通项公式与前n项和公式3能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题4了解等比数列与指数函数的关系.2017江苏卷，92017北京卷，152016全国卷 ，172016湖南卷，141.利用公式求等比数列指定项、前n项和；利用定义、通项公式证明数列为等比数列2利用等比数列性质求等比数列指定项、公比、前n项和.分值：57分板 块 一板 块 二板 块 三栏目导航1 等比数列的有关概念(1)等比数列的定义一般地，如果一个数列从_起，每一项与它的前一项的比等于_常数，那么这个数列叫做等比数列这个常数叫做等比数列的_，通常用字母_表示(2)等比中项如果三个数a， G， b成等比数列，则G叫做a和 b的等比中项，那么_，即_.第 2项 同一 公比 qG2 ab 2 等比数列的有关公式(1)等比数列的通项公式设等比数列an的首项为a1，公比为q， q0，则它的通项公式an _.(2)等比数列的前n项和公式等比数列an的公比为q(q0)，其前n项和为Sn，当q 1时，Sn _；当q 1时，Sn _ _.a1qn 1 na1 1思维辨析(在括号内打“”或 “”)(1)常数列一定是等比数列()(2)等比数列中不存在数值为0的项()(3)满足an 1 qan(nN*， q为常数)的数列an为等比数列()(4)G为 a， b的等比中项G2 ab.()(5)若等比数列an的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an a1qn.()(7)q 1时，等比数列an是递增数列()(8)在等比数列an中，若aman apaq，则m n p q.()解析(1)错误常数列0,0,0，不是等比数列(2)正确由等比数列定义可知等比数列中不能有数值为0的项(3)错误当q0时，an不是等比数列(4)错误当G2ab0时，G不是a，b的等比中项(5)错误等比数列的通项公式为ana1qn1.(6)错误当a1时，Snn.(7)错误当q1，a10时，等比数列递减(8)错误若an1，a1a3a4a51，但1345.2已知数列a， a(1 a)， a(1 a)2， 是等比数列，则实数a满足的条件是()A a|a1B a|a0或 a1C a|a0D a|a0且 a1解析由等比数列定义可知，a0且1a0，即a0且a1.D3设等比数列an的前n项和为Sn，若S6S3 12，则S9S3 ()A 12B 23C 34D 13C4在等比数列an中，若a7a12 5，则a8a9a10a11 _.解析由等比数列的性质知a8a11a9a10a7a125，a8a9a10a1125.5在等比数列an中，已知a11， a4 64，则q _， S4 _.25 4 51 解决等比数列有关问题的常用思想方法(1)方程的思想：等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求出关键量a1和q，问题便可迎刃而解(2)分类讨论 的思想：等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论 ，将q分为q1和q1两种情况进行讨论一等比数列基本量的求解【例1】 (2017全国卷)已知等差数列an的前n项和为Sn，等比数列bn的前n项和为Tn， a11， b1 1，a2 b2 2.(1)若 a3 b3 5，求bn的通项公式；(2)若 T3 21，求S3.解析设an的公差为d，bn的公比为q，则an1(n1)d，bnqn1.由a2b22，得dq3.二等比数列的性质及应用(1)在解决等比数列的有关问题时 ，要注意挖掘隐含条件、利用性质，特别是性质“若mnpq，则amanapaq”，可以减少运算量，提高解题速度(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形此外，解题时注意设而不求思想的运用CA(3)已知等比数列an中，a4 a82，则a6(a2 2a6 a10)的值为()A 4B 6C 8D9A 三等比数列的判定与证明(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可(2)利用递推关系时要注意对n1时的情况进行验证D 2设数列an(n 1,2,3， )的前n项和Sn满足Sn a1 2an，且a1， a2 1， a3成等差数列，则a1 a5_.解析由Sna12an，得anSnSn12an2an1(n2)，即an2an1(n2)从而a22a1，a32a24a1.又因为a1，a21，a3成等差数列，所以a1a32(a21)，所以a14a12(2a11)，解得a12，所以数列an是首项为2，公比为2的等比数列，故an2n，所以a1a522534.34 错因分析： 等比数列中所有奇数项的符号都相同，所有偶数项的符号也都相同 只有同号两数才有等比中项，且有两个，它们互为相反数【例1】 等比数列an中，a5， a9是方程7x2 18x 7 0的两个根，试求a7.易错点不知等比数列中奇数项同号、偶数项同号【跟踪训练1】 若在1与 4之间插入三个数使这五个数成等比数列，则这三个数分别为_.课时课时 达标标 第29讲讲