函数、导数及其应用第 二 章第11讲讲函数与方程考纲要求考情分析命题趋势结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数.2017全国卷， 122017江苏卷，142016山东卷，152016浙江卷，2函数的零点及其应用问题是热点，经常考查函数零点存在的区间、零点个数的判断和利用函数的零点个数求参数的范围等内容，难度不大分值：5 8分板 块 一板 块 二板 块 三栏目导航1 函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y f(x)，我们把使_成立的实数x叫做函数y f(x)的零点(2)三个等价关系方程f(x) 0有实数根函数y f(x)的图象与_有交点函数y f(x)有 _.f(x) 0 x轴 零点 (3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y f(x)在区间a， b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_，那么函数y f(x)在区间_内有零点，即存在c(a， b)，使得_，这个_也就是f(x) 0的根f(a)f(b)0)的零点两个 一个 3 二分法(1)二分法的定义对于在区间a， b上连续不断且_的函数y f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间_，使区间的两个端点逐步逼近_，进而得到零点近似值的方法叫做二分法f(a)f(b)0 一分为二 零点 (2)用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步，确定区间a， b，验证_，给定精确度.第二步，求区间(a， b)的中点x1.第三步，计算f(x1)：若 _，则x1就是函数的零点；若 _，则令b x1(此时零点x0(a， x1)；若 _，则令a x1(此时零点x0(x1， b)第四步，判断是否达到精确度，即若|a b|，则得到零点近似值a(或 b)否则重复第二、第三、第四步f(a)f(b)0 f(x1) 0 f(a)f(x1)0 f(x1)f(b)0 4 有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号1思维辨析(在括号内打“”或 “”)(1)函数f(x) x2 1的零点是( 1,0)和 (1,0) ()(2)函数y f(x)在区间(a， b)内有零点(函数图象连续不断)，则一定有f(a)f(b)0.( )(3)二次函数y ax2 bx c(a0)在 b2 4ac0时没有零点()(4)若函数f(x)在 (a， b)上单调且f(a)f(b)0.(3)正确当b24ac0时，二次函数图象与x轴无交点，从而二次函数没有零点(4)正确由已知条件，数形结合得f(x)与x轴在区间a，b上有且仅有一个交点，故正确C 3 函数f(x)2x x3 2在区间(0,1)内的零点个数是()A 0B 1C 2D 3解析函数f(x)2xx32显然是一个单调递增且是连续的函数，同时f(0)f(1)(1)110.由函数零点存在性定理可知，函数在(0,1)内必存在唯一一个零点故选BB4根据表格中的数据，可以判定方程ex x 2 0的一个根所在的区间为()Cx10123ex0.3712.727.3920.09x212345A ( 1,0)B (0,1)C (1,2)D (2,3)解析设函数f(x) ex x 2，从表中可以看出f(1)f(2)0，因此方程ex x 2 0的一个根所在的区间为(1,2)解析由f(2)f(3)0，可知x0(2,3)(2,3) 判断函数零点所在区间的方法(1)当能直接求出零点时，就直接求出进行判断(2)当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断(3)当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断一函数零点所在区间的判断 CA二函数零点个数的判断 函数零点个数的判断方法(1)解方程法：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点【例2】 (1)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x)， 且x0,1时，f(x) x，则方程f(x) log3|x|的零点个数是()A 2B 3C 4D多于4(2)(2018江苏镇江月考)方程exln x 1(其中e为自然对数的底数)解的个数为_.C1解析(1)由f(x2)f(x)，知函数f(x)是周期为2的周期函数，且是偶函数，在同一坐标系中画出ylog3|x|和yf(x)，x3,3的图象，如图所示，由图可知零点个数为4.三函数零点的应用函数零点应用问题的常见类型及解题策略(1)已知函数零点求参数根据函数零点或方程的根求解参数应分三步： 判断函数的单调性； 利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式； 解不等式，即得参数的取值范围(2)已知函数零点个数求参数解答此类问题常利用数形结合法(3)借助函数零点比较大小要比较f(a)与f(b)的大小，通常先比较f(a)，f(b)与0的大小B A 解析因为f(1)ln 220，所以f(x)在(1,2)上必存在零点故选BB 2函数f(x) 2x|log0.5x| 1的零点个数为()A 1B 2C 3D 4BA 4若直线y 2a与函数y |ax 1|(a0，且a1)的图象有两个公共点，则实数a的取值范围是_.解析当a1时，作出函数y|ax1|的图象如图(1)，此时y2a2，只有一个交点，不成立当0a2，t20，c0.由t2btt(tb)0，得t1b2，b2.故选C答案C(3，) 解析f(x)的图象如图所示若存在实数b，使得关于x的方程f(x)b有三个不同的根，只需4mm23或m0，所以m3.课时课时 达标标 第11讲讲