第七章 不等式高考文数7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题考点求线性目标函数的最值1.二元一次不等式表示平面区域二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.把直线画成虚线以表示区域不包括边界.当在坐标系中画不等式Ax+By+C0所表示的平面区域时,此区域应包括边界,则把边界直线画成实线.2.线性规划中的基本概念知识清单知识拓展1.判断Ax+By+C0表示的平面区域在直线的哪一侧的方法:(1)当C0时,取原点(0,0),当原点坐标使Ax+By+C0成立时,就是含原点的区域;不成立时,就是不含原点的区域.(2)当C=0时,取(0,1)或(1,0),当不等式成立时,就是含所取点的一侧;不成立时,是另一侧.2.线性目标函数z=Ax+By的最值与B的符号的关系当B0时,直线过可行域且在y轴上截距最大时,z值最大;在y轴上截距最小时,z值最小.当B0时,区域为直线Ax+By+C=0的上方,当B0时,区域为直线Ax+By+C=0的下方.2.二元一次不等式组表示的平面区域的应用主要包括求平面区域的面积和已知平面区域求参数的取值范围.对于面积问题,可以先画出平面区域,然后判断其形状,求得相应的交点坐标、相关的线段长度等,利用面积公式进行求解;对于求参问题,则需根据区域的形状判断动直线的位置,从而确定参数的取值范围.方法技巧方法1例1(2017河北衡水中学摸底考试,7)若A为不等式组表示的平面区域,则当a从-2连续变化到1时,动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为(D)A.1B.1.5C.0.75D.1.75解题导引画出区域作出直线x+y=-2与直线x+y=1求面积解析作出不等式组表示的区域,如图中阴影部分(含边界),从而可知,扫过的面积为S=22-1=.故选D.例2(2015重庆,10,5分)若不等式组表示的平面区域为三角形,且其面积等于,则m的值为(B)A.-3B.1C.D.3解题导引画出符合题意条件的平面区域根据条件求出A,B两点的纵坐标及C,D两点的横坐标,从而表示出三角形面积根据三角形的面积建立关于m的方程,从而求得m的值解析如图,要使不等式组表示的平面区域为三角形,则-2m-1,所围成的区域为ABC,SABC=SADC-SBDC.点A的纵坐标为1+m,点B的纵坐标为(1+m),C,D两点的横坐标分别为2,-2m,所以SABC=(2+2m)(1+m)-(2+2m)(1+m)=(1+m)2=,解得m=-3(舍去)或m=1.故选B.目标函数最值问题的求解方法1.求目标函数的最值的步骤:画出可行域;根据目标函数的几何意义确定取得最优解的点;求出目标函数的最大值或最小值.2.常见的目标函数:截距型:形如z=ax+by,可以转化为y=-x+,利用直线在y轴上的截距大小确定目标函数的最值;距离型:形如z=(x-a)2+(y-b)2,表示区域内的动点(x,y)与定点(a,b)连线的距离的平方;斜率型:形如z=,表示区域内的动点(x,y)与定点(a,b)连线的斜率.例3(2016山东,4,5分)若变量x,y满足则x2+y2的最大值是(C)方法2A.4B.9C.10D.12解析作出不等式组所表示的平面区域,如图中阴影部分所示(包括边界),x2+y2表示平面区域内的点与原点的距离的平方,由图易知平面区域内的点A(3,-1)与原点的距离最大,所以x2+y2的最大值是10,故选C.解题导引画出可行域利用x2+y2的几何意义找出最优解求出x2+y2的最大值例4(2016课标全国,14,5分)若x,y满足约束条件则z=x-2y的最小值为.解题导引画出可行域利用平移法得到最优解代入目标函数得最小值解析由约束条件画出可行域,如图中阴影部分所示(包括边界).当直线x-2y-z=0过点B(3,4)时,z取得最小值,zmin=3-24=-5.答案-5线性规划中参变量问题的求解方法含参变量的线性规划问题,参变量的设置有两种形式:(1)条件不等式组中含有参变量,由于不能明确可行域的形状,因此,增加了解题时画图分析的难度,求解这类问题时要有全局观念,结合目标函数逆向分析题意,整体把握解题的方法;(2)目标函数中设置参变量,旨在增加探索问题的动态性和开放性.从目标函数的结论入手,对图形的动态分析,对变化过程中的相关量的准确定位,是求解这类问题的主要思维方法.例5(2017安徽黄山二模,10)已知m1,x,y满足约束条件若目标函数z=ax+by(a0,b0)的最大值为3,则+(A)方法3 A.有最小值B.有最大值C.有最小值D.有最大值解题导引由约束条件及m1画出满足题意的可行域利用z=ax+by(a0,b0)的几何意义找出最优解利用目标函数有最大值得出a与b的关系式利用基本不等式求得+的最小值结论解析由m1及约束条件作出可行域如图,由解得A(1,5),z=ax+by(a0,b0)可化为y=-x+,由图可知,当直线y=-x+过A时,直线在y轴上的截距最大,z取最大值,则a+5b=3.又a0,b0,+=+.故选A.线性规划的实际问题的求解方法1.能建立线性规划模型的实际问题有:给定一定量的人力、物力资源,使完成的任务最大,收益最大;给定一项任务,使完成这项任务耗费人力、物力资源最少.2.解决线性规划实际问题的一般步骤:认真审题,设出未知数,写出线性约束条件和目标函数;画出可行域;作出目标函数值为0时对应的直线l0;在可行域内平行移动直线l0,从图中判断问题有唯一最优解或有无穷最优解或无最优解;求出最优解,从而得到目标函数的最值;得到实际问题的解,写出结论.例6(2017天津,16,13分)电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时方法4长、广告播放时长、收视人次如下表所示:已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟,广告的总播放时间不少于30分钟,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x,y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.(1)用x,y列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次,才能使总收视人次最多?解题导引(1)建立关于x,y的不等关系转化成不等式组的形式画出对应的可行域(2)设出总收视人数,列出目标函数作出基本直线l0,平移l0,得出最优解把实际问题转化成数学问题进行作答解析(1)由已知得,x,y满足的数学关系式为即该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分:图1(2)设总收视人次为z万,则目标函数为z=60 x+25y.考虑z=60 x+25y,将它变形为y=-x+,这是斜率为-,随z变化的一族平行直线.为直线在y轴上的截距,当取得最大值时,z的值最大.又因为x,y满足约束条件,所以由图2可知,当直线z=60 x+25y经过可行域上的点M时,截距最大,即z最大.图2解方程组得点M的坐标为(6,3).所以,电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.