第六章 数列高考文数6.3等比数列及其前n项和知识清单考点一等比数列的定义及通项公式1.定义:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q(q0)表示.2.等比中项:如果a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项,且G=(ab0).3.通项公式:等比数列的通项公式为an=a1qn-1(a1,q0).考点二等比数列的性质及其应用1.等比数列an满足或时,an是递增数列;满足或时,an是递减数列.2.有穷等比数列中,与首末两项等距离的两项的积相等.特别地,当项数为奇数时,还等于中间项的平方.3.等比数列的一些结论:(1)在等比数列中,每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列,构成的新数列仍然是等比数列.(2)若an是等比数列,则an,|an|皆为等比数列,公比分别为q和|q|(为非零常数).(3)一个等比数列各项的k次幂仍组成一个等比数列,新公比是原公比的k次幂.(4)an为等比数列,若a1a2an=Tn,则Tn,成等比数列.(5)若数列an与bn均为等比数列,则manbn与仍为等比数列,其中m是不为零的常数.4.当q0,q1时,Sn=k-kqn(k0)是an为等比数列的充要条件,这时k=.5.对于正整数m,n,p,q,若m+n=p+q,则在等比数列an中,am,an,ap,aq的关系为aman=apaq.6.Sn为等比数列an的前n项和,则(S2k-Sk)2=Sk(S3k-S2k).考点三等比数列的前n项和公式Sn=等比数列的基本运算等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)所求问题可迎刃而解,解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式,并能灵活运用,在运算过程中,还应善于运用整体代换思想简化运算过程.例1(2016安徽皖江名校联考,8)已知Sn是各项为正数的等比数列an的前n项和,a2a4=16,S3=7,则a8=(C)A.32B.64C.128D.256方法技巧方法1解题导引由=a2a4及已知求a3用a1,q表示a3,S2求出q由an0确定q的值结论解析an为各项均为正数的等比数列,a2a4=16,a3=4,a3=a1q2=4,S3=7,S2=S3-a3=3,(1-q2)=3(1-q),即3q2-4q-4=0,q=-或q=2,an0,q=2,则a1=1,a8=27=128.等比数列性质的应用策略若m+n=p+q(m,n,p,qN*),则aman=apaq.(1)特别地,当m+n=2k(m,n,kN*)时,aman=.(2)对有穷等比数列,与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项之积,即a1an=a2an-1=akan-k+1=(nN*).例2(2017福建4月模拟,6)已知递增的等比数列an的公比为q,其前n项和Sn0,则(A)A.a10,0q1B.a11C.a10,0q0,q1方法2解析Sn0,a1an,且|an|an+1|,则-an-an+10,则q=(0,1),a10,0q1,a10或0q1,a11,a10或0q0时,数列an为递减数列.例3(2017湖南三湘名校联盟三模,10)一个等比数列an的前三项的积为2,最后三项的积为4,且所有项的积为64,则该数列有(B)A.13项B.12项C.11项D.10项解题导引方法1:用基本量表示出前三项之积和后三项之积求出qn-1=2由=64求出n方法2:由已知及等比数列的性质可知a1an=2由倒序相乘得64=(a1an)2结论解析解法一:设首项为a1,公比为q,共有n项.前三项之积为q3=2,最后三项之积为q3n-6=4,两式相乘得q3(n-1)=8,即qn-1=2,又a1a1qa1q2a1qn-1=64,=64,则(qn-1)n=642,2n=642,n=12,故选B.解法二:(a1an)3=8,a1an=2,(a1an)n=2n=642,n=12.等比数列的判定与证明1.证明数列是等比数列的两个基本方法(1)=q(与n值无关的常数)(nN*).(2)=anan+2(nN*).2.定义不仅能证明一个数列是等比数列,也能判定一个数列不是等比数列,可通过三个连续项不成等比数列证明,也可以用反证法证明.例4(2015广东,19,14分)设数列an的前n项和为Sn,nN*.已知a1=1,a2=,a3=,且当n2时,4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1.(1)求a4的值;(2)证明:为等比数列;方法3(3)求数列an的通项公式.解题导引(1)令n=2,得4S4+5S2=8S3+S1得a4的值(2)n2时将原等式化简为4(Sn+2-Sn+1)=4(Sn+1-Sn)-(Sn-Sn-1)an+2=an+1-an(n2)将n=1代入上式,成立an+2=an+1-an=得结论(3)由(2)得2nan+1-2n-1an=22n-1an为等差数列得an解析(1)当n=2时,4S4+5S2=8S3+S1,即4(a1+a2+a3+a4)+5(a1+a2)=8(a1+a2+a3)+a1,整理得a4=,又a2=,a3=,所以a4=.(2)证明:当n2时,有4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1,即4Sn+2+4Sn+Sn=4Sn+1+4Sn+1+Sn-1,所以4(Sn+2-Sn+1)=4(Sn+1-Sn)-(Sn-Sn-1),即an+2=an+1-an(n2).经检验,当n=1时,上式成立.因为=为常数,且a2-a1=1,所以数列是以1为首项,为公比的等比数列.(3)由(2)知,an+1-an=(nN*),等式两边同乘2n,得2nan+1-2n-1an=2(nN*),又20a1=1,所以数列2n-1an是以1为首项,2为公差的等差数列,所以2n-1an=2n-1,即an=(nN*).则数列an的通项公式为an=(nN*).