点、直线、平面之间的位置关系第二章2.3直线、平面垂直的判定及其性质第二章2.3.3直线与平面垂直的性质互动课堂2随堂测评3课后强化作业4预习导学1预 习 导 学 课标展示 1理解且能证明直线和平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理 2能够灵活地应用线面垂直的性质定理证明相关问题 温故知新 旧知再现 1直线垂直于平面的定义：如果一条直线垂直于一个平面内的_一条直线，则称这条直线垂直于这个平面 2直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线垂直于一个平面内的两条_直线，则这条直线垂直于这个平面任意相交 3如图，长方体AC1中，二面角D1ABD的平面角是() AD1AB BD1BA CD1AD DD1DA 答案C 4已知l，则过 l与垂直的平面() A有1个B有2个 C有无数个 D不存在 答案C 5把等腰RtABC沿斜边BC上的高线AD折成一个二面角，此时BAC60，那么此二面角的大小是_ 答案90 新知导学 直线与平面垂直的性质定理平行ab平行 破疑点直线与平面垂直的性质定理给出了判断两条直线平行的另一种方法，即“线面垂直，则线线平行”，它揭示了“平行”与“垂直”的内在联系 自我检测 1从圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是() A相交 B平行 C异面 D相交或平行 答案B 2下列命题： 垂直于同一条直线的两个平面互相平行； 垂直于同一个平面的两条直线互相平行； 一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线垂直 其中正确的个数是() A0 B1 C2 D3 答案D 解析均正确 3如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E平面ABCD，F平面A1B1C1D1，且EF平面ABCD. 求证：EFAA1. 分析只需证明AA1平面ABCD即可 证明AA1AB，AA1AD，且ABADA，AB平面ABCD，AD平面ABCD， AA1平面ABCD. 又EF平面ABCD， EFAA1.规律总结：证明线线平行可转化为线面垂直，即转化为证明这两条直线同时垂直于一个平面 互 动 课 堂线面垂直的性质典例探究 分析要证线线平行，根据条件“MN平面A1DC”，可联想到线面垂直的性质定理，故只需证AD1平面A1DC即可 证明四边形ADD1A1为正方形，AD1A1D. 又CD平面ADD1A1，CDAD1. A1DCDD，AD1平面A1DC. 又MN平面A1DC，MNAD1.规律总结：证明线线平行常有如下方法：(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点；(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线；(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行特别提醒：“平行关系”与“垂直关系”在特定条件下是可以相互转化的 如图，已知平面平面l，EA，垂足为A，EB，直线a，aAB.求证：al. 证明因为EA，l，即l，所以lEA. 同理lEB.又EAEBE，所以l平面EAB. 因为EB，a，所以EBa， 又aAB，EBABB， 所以a平面EAB. 由线面垂直的性质定理，得al.分析(1)关键先证明线面垂直，然后证明线线 垂直；(2)关键构造中位线得线面平行线面垂直的性质的综合应用 解析(1)证明：连接C1D. DCDD1，四边形DCC1D1是正方形，DC1D1C. ADDC，ADDD1，DCDD1D， AD平面DCC1D1，D1C平面DCC1D1，ADD1C.又ADDC1D，D1C平面ADC1. 又AC1平面ADC1，D1CAC1. (2)如图，连接AD1、AE、D1E， 设AD1A1DM，BDAEN，连接MN. 平面AD1E平面A1BDMN， 要使D1E平面A1BD， 须使MND1E，又M是AD1的中点， N是AE的中点 又易知ABNEDN，ABDE. 即E是DC的中点 综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E平面A1BD.规律总结：线面垂直与平行的相互转化：(1)空间中直线与直线垂直、直线与平面平行、直线与直线平行可以相互转化，每一种垂直与平行的判定都是从某种垂直与平行开始转化为另一种垂直与平行，最终达到目的 如右图，已知矩形ABCD过A作SA平面AC，再过A作AESB交SB于点E，过E作EFSC交SC于点F. (1)求证：AFSC； (2)若平面AEF交SD于点G，求证：AGSD. 分析本题是证线线垂直问题，可通过证线面垂直来实现结合题图，欲证AFSC，只需证SC垂直于AF所在平面，即SC平面AEF.由已知，欲证SC平面AEF，只需证AE垂直于SC所在平面，即AE平面SBC，再由已知只需证AEBC，而要证AEBC，只需证BC平面SAB，而这可由已知得证 证明(1)SA平面AC，BC平面AC， SABC. 四边形ABCD为矩形，ABBC，BC平面SAB， BCAE.又SBAE，AE平面SBC，AESC. 又EFSC，SC平面AEF，AFSC. (2)SA平面AC，SADC， 又ADDC，DC平面SAD.DCAG. 又由(1)有SC平面AEF，AG平面AEF， SCAG，AG平面SDC，AGSD. 错解b，ab，a或a. 又a，a. 错因分析推理逻辑不严密，理由与结论衔接不恰当 思路分析本题垂直关系比较分散，不能按平面几何的方法进行论证，应将其集中到一个平面内，然后用平面几何知识解决 正解如图，在a上任取一点A，过点A作直线bb.设bB，过直线a，b作平面，l. b，bl. 又ba，bb，ba，bl. 又a，l同在内，al. 又a，l，a. 如图，设平面与相交于直线l，AC，BD，垂足分别为 C、D，直线ABAC，ABBD， 求证：ABl. 证明AC，BD，l， ACl，BDl； 过A作AE垂足为E，则AEBD， ABBD，ABAE，AB平面ACE； AE，l，AEl， 又ACl，l平面ACE，ABl.规律总结：要证线线平行，不具备公理4的条件，没有线面平行、面面平行关系好用，给出的条件多为垂直关系，于是想到应用线面垂直的性质定理，只须找到这样一个平面、l、AB，于是作辅助线围绕找展开 随 堂 测 评 1下列说法中不正确的是() A若一条直线垂直于一个三角形的两边，则一定垂直于第三边 B同一个平面的两条垂线一定共面 C过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内 D过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直 答案D 2已知直线a，b，平面，且a，下列条件中，能推出ab的是() Ab Bb Cb DbA 答案C 3已知直线l平面，直线m平面，则下列四个说法中正确的是() lm；lm；lm；lm. A B C D 答案D 4如右图所示，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，D是侧面PBC上的一点，过D作平面ABC的垂线DE，其中DPC，则DE与平面PAC的位置关系是_ 答案平行 解析DE平面ABC，PA平面ABC， DEPA. 又DE平面PAC，PA平面PAC， DE平面PAC. 5已知AF平面ABCD，DE平面ABCD，如图所示，且AFDE，AD6，则EF_. 答案6 解析因为AF平面ABCD，DE平面ABCD，所以AFDE，又AFDE，所以四边形AFED是平行四边形，所以EFAD6. 6如图，ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AEAB2a，CDa，F是BE的中点 求证：(1)DF平面ABC； (2)AFBD. (2)由(1)知CGGF，又CGAB， CG面ABE，CGAF，DFCG，AFDF 在RtABE中，AFBE，AF面BDF，AFBD.