第二章数 列2.3等差数列的前n项和 (二)1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；了解等差数列的一些性质.2.掌握等差数列前n项和的最值问题.3.理解an与Sn的关系，能根据Sn求an.学习目标栏目索引知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠2.等差数列前n项和的最值 知识梳理 自主学习知识点一等差数列前n项和及其最值答案最大答案最小最小最大知识点二数列中an与Sn的关系对任意数列an，Sn与an的关系可以表示为答案S1SnSn1思考若Snn2n，则an_.解析n2时，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n，当n1时，a1S1121221，an2n.解析答案2n知识点三裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而实现求和.常见的拆项方法：答案返回答案 题型探究 重点突破题型一已知Sn求an例1已知数列an的前n项和为Sn，若Sn2n23n，试判断数列an是不是等差数列.解析答案反思与感悟解Sn2n23n，当n2时，anSnSn12n23n2(n1)23(n1)4n1.当n1时，a1S15411.n1时，适合an4n1.数列的通项公式是an4n1.故数列an是等差数列.当n1适合于an时，则a1可以统一到an(n2，nN*)的形式中.若n1不适合an，则通项公式应写成分段函数形式.(2)等差数列an中，若d0，则Sn可写成关于n的二次函数形式，反之，若SnAn2Bn，那么数列an一定是等差数列.反思与感悟跟踪训练1本例中，若Sn2n23n1，试判断该数列是不是等差数列.解析答案解Sn2n23n1.n2时，anSnSn12n23n12(n1)23(n1)14n1.当n1时，a1S16411.故数列an不是等差数列.题型二等差数列前n项和的最值问题例2在等差数列an中，若a125，且S9S17，求Sn的最大值.解析答案反思与感悟解方法一S9S17，a125，解得d2.解析答案反思与感悟(n13)2169.当n13时，Sn有最大值169.方法二同法一，求出公差d2.an25(n1)(2)2n27.a1250，又nN*，当n13时，Sn有最大值169.解析答案反思与感悟方法三S9S17，a10a11a170.由等差数列的性质得a13a140.a10，d0，a140，d0，则Sn存在最大值，即所有非负项之和.若a10，则Sn存在最小值，即所有非正项之和.(2)求等差数列前n项和Sn最值的两种方法：寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用反思与感悟运用二次函数求最值的方法，注意解自然数.解析答案跟踪训练2已知等差数列an中，a19，a4a70.(1)求数列an的通项公式；解由a19，a4a70，得a13da16d0，解得d2，ana1(n1)d112n.解析答案(2)当n为何值时，数列an的前n项和取得最大值？解方法一a19，d2，当n5时，Sn取得最大值.方法二由(1)知a19，d20，n6时，an0；当n35时，anS7S5，有下列四个命题：d0；S120；数列Sn中的最大项为S11，其中正确命题的序号是()A. B.C. D.解析答案12345解析由|a5|a9|且d0得a50，a90，且a5a902a112d0a16d0，即a70，故S6S7且最小.123453.已知等差数列an中，|a5|a9|，公差d0，则使得前n项和Sn取得最小值的正整数n的值是_.6或7解析答案12345解析答案n99.9912345解析答案5.已知数列an的前n项和Sn32n，求an.解(1)当n1时，a1S1325.(2)当n2时，Sn132n1，又Sn32n，anSnSn12n2n12n1(n2).又当n1时，a121115，课堂小结1.因为anSnSn1在n2时才有意义，所以由Sn求通项公式anf(n)时，要分n1和n2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示.2.求等差数列前n项和最值的方法：(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意nN*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观.返回3.求等差数列an前n项的绝对值之和，关键是找到数列an的正负项的分界点.本课结束