2.1.2椭圆的简单几何性质(二)第二章 2.1 椭 圆1.巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆的三种位置关系，特别是直线与椭圆相交的有关问题.学习目标栏目索引知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠 知识梳理 自主学习答案知识点二直线与椭圆的位置关系消去y得到一个关于x的一元二次方程.位置关系解的个数的取值相交_解_0相切_解_0相离_解_0两一无0；(2)直线与椭圆相切0；(3)直线与椭圆相离b0)的左，右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|3|BF1|.(1)若|AB|4，ABF2的周长为16，求|AF2|；解由|AF1|3|F1B|，|AB|4，得|AF1|3，|F1B|1.因为ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a16，|AF1|AF2|2a8.故|AF2|2a|AF1|835.解析答案解设|F1B|k，则k0，且|AF1|3k，|AB|4k.由椭圆定义可得|AF2|2a3k，|BF2|2ak.在ABF2中，由余弦定理可得|AB|2|AF2|2|BF2|22|AF2|BF2|cosAF2B，化简可得(ak)(a3k)0，而ak0，故a3k.于是有|AF2|3k|AF1|，|BF2|5k.因此|BF2|2|F2A|2|AB|2，可得F1AF2A，故AF1F2为等腰直角三角形.解析答案题型三椭圆中的最值(或范围)问题例3已知椭圆4x2y21及直线yxm.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；因为直线与椭圆有公共点，解析答案(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.解设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由(1)知：5x22mxm210，当m0时，|AB|最大，即被椭圆截得的弦最长，此时直线方程为yx.反思与感悟反思与感悟解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等.解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想.其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件.解析答案解直线AB的斜率为1，BAP45，即b2，且B(3,1).解析答案(2)由点P的坐标为(0，t)及点A位于x轴下方，得点A的坐标为(0，t3)，t3b，即b3t.显然点B的坐标是(3，t)，将它代入椭圆方程得：解析答案返回解后反思一题多解求解椭圆中弦所在的直线方程解析答案解后反思分析注意根与系数的关系及中点坐标公式的应用.本题也可用两方程直接相减求解.解方法一由题意，知所求直线的斜率存在，设此直线的方程为yk(x2)1.得(4k21)x28(2k2k)x4(2k1)2160.设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，故所求直线的方程为x2y40.方法二设所求直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2).因为点P为弦AB的中点，所以x1x24，y1y22.又因为A，B在椭圆上，解析答案解后反思即(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0，即x2y40.方法三设所求直线与椭圆的一个交点为A(x，y).因为弦中点为P(2,1)，所以另一个交点为B(4x,2y).因为点A，B在椭圆上，所以x24y216，(4x)24(2y)216，从而A，B在方程所形成的图形上，即在直线x2y40上.又因为过A，B的直线只有1条，故所求直线的方程为x2y40.解后反思解决中点弦的问题，最常用的方法有两种：一是把直线方程与曲线方程联立，消元得一元二次方程，利用中点坐标公式和根与系数的关系列关系式，进而求出参数；二是设出弦的两端点坐标，不具体求出，利用点差法整体表示直线斜率，进而求出参数.返回解后反思 当堂检测12345解析答案1.直线yx2与椭圆 1有两个公共点，则m的取值范围是()A.m1 B.m1且m3C.m3 D.m0且m30，m1或m0且m3，m1且m3.B解析答案123452.已知椭圆的方程为2x23y2m(m0)，则此椭圆的离心率为()B12345解析答案根据椭圆的性质结合ABF2的特点，A解析答案123454.椭圆x24y236的弦被点A(4,2)平分，则此弦所在的直线方程为()A.x2y0 B.x2y40C.2x3y140 D.x2y80解析设以点A(4,2)为中点的椭圆的弦与椭圆交于点E(x1，y1)，F(x2，y2)，点A(4,2)为EF中点，把E(x1，y1)，F(x2，y2)分别代入椭圆x24y236中，x1x28，y1y24，则得(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0，8(x1x2)16(y1y2)0，整理得，x2y80.D解析答案12345点M的轨迹方程是x2y2c2，点M的轨迹是以原点为圆心的圆，其中F1F2为圆的直径.由题意知，椭圆上的点P总在圆外，|OP|c恒成立，由椭圆性质知|OP|b，bc，a22c2，课堂小结返回解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题步骤为(1)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)；(2)联立直线与椭圆的方程；(3)消元得到关于x或y的一元二次方程；(4)利用根与系数的关系设而不求；(5)把题干中的条件转化为x1x2，x1x2或y1y2，y1y2，进而求解.本课结束