3.1.2空间向量的数乘运算第三章 3.1 空间向量及其运算1.掌握空间向量的数乘运算.2.理解共线向量定理及推论.3.理解共面向量定理及推论.学习目标栏目索引知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠 知识梳理 自主学习知识点一空间向量的数乘运算(1)向量的数乘：与平面向量一样，实数与空间向量a的乘积仍然是一个向量，记作 ，称为 运算.当0时，a与向量a方向 ；当0时，a与向量a方向 ；a的长度是a的长度的|倍.(2)空间向量的数乘运算满足分配律与结合律：分配律： ，结合律： .答案向量的数乘相同相反(a)()aa(ab)ab知识点二共线向量(1)共线向量定义表示空间向量a，b的有向线段所在的直线 ，则向量a，b叫做 或 ，记作ab.(2)两向量共线的充要条件对空间任意两个向量a，b (b0)，ab的充要条件是存在实数，使ab.答案互相平行或重合共线向量平行向量答案方向向量知识点三共面向量(1)共面向量的概念平行于的向量，叫做共面向量.(2)三个向量共面的充要条件如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)，使pxayb.返回同一个平面答案 题型探究 重点突破解析答案解P是C1D1的中点，解析答案解N是BC的中点，解M是AA1的中点，解析答案反思与感悟用已知向量表示未知向量，一定要结合图形进行求解.如果要表示的向量与已知向量起点相同，一般用加法，否则用减法，如果此向量与一个易求的向量共线，则用数乘.反思与感悟解P是CA的中点，解析答案解M是CD的中点，解析答案解N是CD的中点，解析答案解CQQA41，解析答案题型二向量共线问题例2如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，则 是否共线？解析答案反思与感悟解方法一M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，解析答案反思与感悟方法二M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，反思与感悟判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数，使ab成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具体图形通过化简，计算得出ab，从而得到ab.反思与感悟解析答案A、B、D三点共线.解析答案反思与感悟反思与感悟利用向量法证明四点共面，实质上是证明的向量共面问题，解题的关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中要注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系.反思与感悟解析答案(2)判断点M是否在平面ABC所在的平面内.三个向量又有公共点M，M，A，B，C共面，即点M在平面ABC所在的平面内.解析答案返回 当堂检测123451.设a，b是两个不共线的向量，R，若ab0，则()A.ab0 B.0C.0，b0 D.0，a0解析a，b是两个不共线的向量，a0，b0，只有B正确.B解析答案A.点P在线段AB上B.点P在线段AB的延长线上C.点P在线段BA的延长线上D.点P不一定在直线AB上12345解析0t1，点P在线段AB上.A解析答案12345B解析答案12345解析答案4.下列命题中，正确命题的个数为()若ab，则a与b方向相同或相反；若 则A，B，C，D四点共线；若a，b不共线，则空间任一向量pab(，R).A.0 B.1 C.2 D.3解析当a，b中有零向量时，不正确；由p，a，b共面的充要条件知，当p，a，b共面时才满足pab(，R)，故不正确.A12345解析答案课堂小结空间向量的数乘运算和平面向量完全相同；利用数乘运算可判定两个向量共线，三个向量共面问题，在几何中可以解决一些点共线、点共面、线面平行问题.返回本课结束