第2课时空间向量与垂直关系第三章 3.2 立体几何中的向量方法1.会利用平面法向量证明两个平面垂直.2.能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明空间中的垂直(线线、线面、面面)关系.学习目标栏目索引知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠 知识梳理 自主学习知识点空间垂直关系的向量表示空间中的垂直关系线线垂直线面垂直面面垂直设直线l的方向向量为a(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b(b1，b2，b3)，则lmabab0设直线l的方向向量为a(a1，b1，c1)，平面的法向量为u(a2，b2，c2)，则lauaku，kR设平面的法向量为u(a1，b1，c1)，平面的法向量为v(a2，b2，c2)，则uvuv0返回 题型探究 重点突破题型一证明线线垂直问题例1如图，ABC和BCD所在平面互相垂直，且ABBCBD2，ABCDBC120，E，F分别为AC，DC的中点.求证：EFBC.解析答案反思与感悟证明由题意，以点B为坐标原点，在平面DBC内过点B作垂直于BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过点B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，反思与感悟证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系写出点的坐标求直线的方向向量证明向量垂直得到两直线垂直.反思与感悟跟踪训练1如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，垂足为A，ABAD于A，ACCD于C，ABC60，PAABBC，E是PC的中点.求证AECD.解析答案证明以A为坐标原点建立空间直角坐标系，设PAABBC1，则A(0,0,0)，P(0,0,1).ABC60，ABC为正三角形.题型二证明线面垂直问题例2如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点.求证：EF平面B1AC.解析答案反思与感悟证明方法一设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(1,1,2).解析答案反思与感悟(1)0(1)2120.EFAB1，EFAC.又AB1ACA，AB1平面B1AC，AC平面B1AC，EF平面B1AC.解析答案反思与感悟同理，EFB1C.又AB1B1CB1，AB1平面B1AC，B1C平面B1AC，EF平面B1AC.反思与感悟本类型题目用向量法证明的关键步骤是建立空间直角坐标系，用坐标表示向量或用基底表示向量，证法的核心是利用向量的数量积或数乘运算.反思与感悟解析答案跟踪训练2如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点.求证：A1O平面GBD.证明方法一 如图取D为坐标原点，DA、DC、DD1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.设正方体棱长为2，则O(1,1,0)，A1(2,0,2)，G(0,2,1)，B(2,2,0)，D(0,0,0)，解析答案即OA1OB，OA1BG，而OBBGB，OA1平面GBD.方法二同方法一建系后，设面GBD的一个法向量为n(x，y，z)，令x1得z2，y1，平面GBD的一个法向量为(1，1,2)，题型三证明面面垂直问题例3如图，底面ABCD是正方形，AS平面ABCD，且ASAB，E是SC的中点.求证：平面BDE平面ABCD.解析答案反思与感悟证明设ABBCCDDAAS1，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则B(1,0,0)，D(0,1,0)，A(0,0,0)，反思与感悟又因为AS平面ABCD，所以OE平面ABCD，又OE平面BDE，所以平面BDE平面ABCD.利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直.反思与感悟解析答案跟踪训练3在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，ABBC，ABBC2，AA11，E为BB1的中点，求证：平面AEC1平面AA1C1C.返回设平面AA1C1C的法向量为n1(x，y，z)，解析答案令x1，得y1，故n(1,1,0).设平面AEC1的法向量为n2(a，b，c)，令c4，得a1，b1.故n2(1，1,4).因为n1n2111(1)040，所以n1n2.所以平面AEC1平面AA1C1C.返回 当堂检测123451.已知平面的法向量为a(1,2，2)，平面的法向量为b(2，4，k)，若，则k等于()A.5 B.4 C.4 D.5解析，ab，ab282k0，k5.D解析答案123452.设直线l1，l2的方向向量分别为a(2,2,1)，b(3，2，m)，若l1l2，则m等于()A.2 B.2 C.6 D.10解析l1l2，ab0，2322m0，m10.D解析答案123453.若平面，垂直，则下面可以作为这两个平面的法向量的是()A.n1(1,2,1)，n2(3,1,1)B.n1(1,1,2)，n2(2,1,1)C.n1(1,1,1)，n2(1,2,1)D.n1(1,2,1)，n2(0，2，2)A解析1(3)21110，n1n20，故选A.解析答案12345解析答案4.若直线l的方向向量为a(2,0,1)，平面的法向量为n(4,0，2)，则直线l与平面的位置关系为()A.l与斜交 B.lC.l D.l解析a(2,0,1)，n(4,0，2)，n2a，an，l.D12345解析答案5.已知平面和平面的法向量分别为a(1,1,2)，b(x，2,3)，且，则x_.解析，ab0，x2230，x4.4课堂小结1.利用空间向量解决立体几何问题的“三个基本步骤”：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)进行向量运算，研究点、直线、平面之间的关系(距离和夹角等)；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题.2.证明线面垂直问题，可以利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系来证明.返回本课结束