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此文档仅供收集于网络,如有侵权请联系网站删除一、相关概念1. 导数的概念:只供学习与沟通f ( x0 ) = limx0y = lim xx0f x0xf x0 ;x留意:( 1)函数 f ( x)在点x0 处可导,是指x0 时,y 有极限;假如xy 不存在极限,x就说函数在点x 0 处不行导,或说无导数;( 2) x 是自变量x 在 x 0 处的转变量,2. 导数的几何意义x0 时,而y 是函数值的转变量,可以是零;/函数 y=f ( x)在点 x 0 处的导数的几何意义是曲线y=f ( x)在点 p(x 0 , f ( x 0 )处的切 线的斜率;也就是说,曲线y=f ( x)在点 p( x 0 , f ( x 0 )处的切线的斜率是f ( x 0 );相应地,切线方程为y y 0 =f ( x 0 )( x x 0 );3. 导数的物理意义如物体运动的规律是s=s ( t ),那么该物体在时刻t 的瞬时速度 v= s ( t );如物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v ( t ),就该物体在时刻t 的加速度 a=v( t );二、导数的运算1. 基本函数的导数公式: C0; ( C 为常数) xnnxn 1; sin xcosx ; cos xsin x ; ex a x ex;ax ln a ; ln x l og1 ;xx1 loge.aax2. 导数的运算法就法就 1:两个函数的和 或差 的导数 , 等于这两个函数的导数的和 或差 ,即: uv uv .法就 2:两个函数的积的导数, 等于第一个函数的导数乘以其次个函数, 加上第一个函数乘以其次个函数的导数,即:uv u vuv .法就 3 :两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方:uvu vv 2uv ( v0);3. 复合函数的导数形如 y=fx 的函数称为复合函数;复合函数求导步骤:分解 求导 回代;法就: y | X = y | Uu | X 或者f xf *x .三、导数的应用1. 函数的单调性与导数(1) 设函数 yf x 在某个区间( a, b)可导, 假如f x0 ,就f x在此区间上为增函数;假如f x0 ,就f x在此区间上为减函数;(2) 假如在某区间内恒有2. 极点与极值:f x0 ,就f x 为常数 ;曲线在极值点处切线的斜率为0,极值点处的导数为0;曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;曲线在微小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正;3. 最值:在区间 a ,b 上连续的函数 f x 在a , b 上必有最大值与最小值;但在开区间(a, b)内连续函数 f ( x)不肯定有最大值,例如f xx3, x 1,1 ;(1) 函数的最大值和最小值是一个整体性的概念,最大值必需是整个区间上全部函数值中的最大值,最小值必需在整个区间上全部函数值中的最小值;(2) 函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的,函数的极值是比较极值点附件的函数值得出来的;函数的极值可以有多有少,但最值只有一个,极值只能在区间内取得,最值就可以在端点取得,有极值的未必有最值,有最值的未必有极值,极值可能成为最值,最值只要不在端点处必定是极值;四、定积分1. 概念设函数 fx在区间 a ,b 上连续,用分点a x0x1 xi 1xi xn b 把区间 a , b等分成 n 个小区间,在每个小区间xi 1, xi上取任一点 i ( i 1, 2, n)作和式Innf i1 i x(其中 x 为小区间长度) ,把 n即 x0 时,和式 In 的极限叫做函数 fx在区间 a , b 上的定积分,记作:bf x dxa,即bf xdxalimnnfi 1 i x;这里, a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限,区间a , b 叫做积分区间,函数fx叫做被积函数, x 叫做积分变量, fxdx叫做被积式;1m 11基本的积分公式:0dxxm dxx C; m1 C( m Q, m 1);x dx lnxexdxexxaax dxcos xdxsinxdx C; C; ln a C; sinx C; cosx C(表中 C 均为常数);2. 定积分的性质bkf x dx abkf x dxa( k 为常数);bf x ag xdxbf xdxabg xdxa;bf xdx acf xdxabf xdxc(其中 a cb;3. 定积分求曲边梯形面积由三条直线x a, x b(ab), x 轴及一条曲线 y f (x) fx 0 围成的曲边梯的面积bSf xdxa;假如图形由曲线y1 f1x, y2 f2x(不妨设 f1x f2x0),及直线 x a,x b( ab ) 围 成 , 那 么 所 求 图 形 的 面 积 S S 曲 边 梯 形 AMNB S 曲 边 梯 形 DMNCb1f xdxab2f xdxa;4. 牛顿布莱尼茨公式假如 fx是区间 a,b上的连续函数 ,并且 F x=fx,就bf xadxF bF a【练习题】题型 1:导数的基本运算【例 1】 ( 1)求 yxx 211 的导数;3xx(2)求 yx1 1x1) 的导数;(3) 求 yxsinx cos x的导数;(4)求 y=x2sin x222的导数;(5)求 y 3xxx5xx9 的导数;解析:( 1)yx311 ,y 2x3x22 .x 311(2) 先化简 , yx1x13x11 xx 2x 2y 1 x 221 x 22111 .2 xx(3) 先使用三角公式进行化简.yxsinx cos xx1 sin x222yx1sin x21xsin2x11cos x. 2(4) y = x2 sin xsinx2 *2 xsinx=2 x sinx x2sin 2 xcos x ;31(5)y 3x 2 x 9x 23y * ( x 2 ) x 1 x 23) *21x 2 * (31 ) x 2 29x 121 1 ;x2题型 2:导数的几何意义【例 2】 已经曲线 C: y=x 3 x+2 和点 A1,2 ;(1)求在点 A 处的切线方程?( 2)求过点A 的切线方程?( 3) 如曲线上一点 Q 处的切线恰好平行于直线 y=11x 1,就 Q点坐标为 ,切线方程为 摸索:导数不存在时,切线方程为什么?【例 3】 ( 06 安徽卷)如曲线y x4 的一条切线l 与直线 x4 y80 垂直,就l 的方程为()A 4 xy30B x4 y50C 4 xy30D x4 y30【例 4】 ( 06 全国 II )过点( 1, 0)作抛物线yx2x1 的切线,就其中一条切线为()4(A ) 2xy20( B) 3xy30(C) xy10(D ) xy1034解析:( 1)与直线 x4 y80 垂直的直线 l 为 4 xym0 ,即yx 在某一点的导数为 4,而 y00选 A;4 x ,所以yx 在1 ,1 处导数为 4,此点的切线为 4xy30 ,故( 2) y2 x1 ,设切点坐标为 x , y ,就切线的斜率为2 x200001 ,且 yxx1 ,于是切线方程为2yx0x012 x01 xx0 ,由于点( 1, 0)在切线上,可解得x0 0 或 4,代入可验正D 正确,选 D;题型 3:借助导数处理单调性、极值和最值【例 5】 ( 06 江西卷)对于 R 上可导的任意函数f( x ),如满意( x 1) f (x) 0,就必有()A f( 0) f( 2) 2f ( 1)B. f (0) f( 2) 2f ( 1) C f( 0) f( 2) 2f (1)D. f ( 0) f( 2) 2f ( 1)【例 6】 ( 06 天津卷)函数f x的定义域为开区间 a, b ,导函数f x在 a, b 内的图
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