-库仑定律7-1 把总电荷电量为Q的同一种电荷分成两局部，一局部均匀分布在地球上，另一局部均匀分布在月球上，使它们之间的库仑力正好抵消万有引力，地球的质量M5.98l024kg，月球的质量m=7.34l022kg。1求Q 的最小值；2如果电荷分配与质量成正比，求Q的值。解：1设Q分成q1、q2两局部，根据题意有 ，其中即 。求极值，令，得 ，2，解得， ，7-2 三个电量为 q 的点电荷各放在边长为l 的等边三角形的三个顶点上，电荷QQ0放在三角形的重心上。为使每个负电荷受力为零，Q值应为多大？解：Q到顶点的距离为 ，Q与-q的相互吸引力为 ，两个-q间的相互排斥力为 据题意有 ，即 ，解得：电场强度q0图7-3allPO*7-3 如图7-3所示，有一长l的带电细杆。1电荷均匀分布，线密度为+l，则杆上距原点*处的线元d*对P点的点电荷q0 的电场力为何？q0受的总电场力为何？2假设电荷线密度l=k*，k为正常数，求P点的电场强度。解：1线元d*所带电量为，它对q0的电场力为q0受的总电场力 时，其方向水平向右；时，其方向水平向左2在*处取线元d*，其上的电量，它在P点的电场强度为 方向沿*轴正向。7-4一半径为R的绝缘半圆形细棒，其上半段均匀带电量+q，下半段均匀带电量-q，如图7-4所示，求半圆中心处电场强度。解：建立如下列图的坐标系，由对称性可知，+q和-q在O点电场强度沿*轴的分量之和为零。取长为dl的线元，其上所带电量为图7-4+R， 方向如图y方向的分量 7-5一半径为R的半球壳，均匀带有电荷，电荷面密度为s，求球心处电场强度。解：沿半球面的对称轴建立*轴，坐标原点为球心O。在球面上取半径为r、宽为dl的环带，如图，其面积为，所带电荷 dq在O处产生的电场强度为，因为球面上所有环带在O处产生的电场强度方向一样，7-6一无限大均匀带电薄平板，面电荷密度为s，平板中部有一半径为R的圆孔,如图7-6所示。求圆孔中心轴线上的场强分布。提示：利用无穷大板和圆盘的电场及场强叠加原理图7-6RPs解：利用补偿法，将圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成，即等效为一个完整的带电无穷大平板和一个电荷面密度相反的圆盘叠加而成。无穷大平板的电场为 圆盘激发的电场为 ，其中为平板外法线的单位矢量。圆孔中心轴线上的电场强度为 电通量7-7电场强度为的匀强电场，其方向与半径为R的半球面的对称轴平行，如图7-7所示，求通过该半球面的电场强度通量。解：作半径为R的平面S与半球面S构成一个闭合曲面，由于该闭合曲面内无电荷，由高斯定理图7-7R7-8一边长为a的立方体置于直角坐标系中，如图7-8所示。现空间中有一非均匀电场，E1、E2为常量，求电场对立方体各外表及整个立方体外表的电场强度通量。ABCOEFGD*yz图7-8解：整个立方体外表的电场强度通量 高斯定理7-9有两个同心的均匀带电球面，内外半径分别为R1和R2，外球面的电荷面密度为+s，其外面各处的电场强度都是零。试求：1内球面上的电荷面密度；2外球面以内空间的电场分布。解：作一半径为r的同心球面为高斯面。设内球面上的电荷面密度为。1处：因为外球面外的电场强度处处为零，由高斯定理有，得 2由高斯定理 即 方向沿径向反向7-10一对无限长的均匀带电共轴直圆筒，内外半径分别为R1和R2，沿轴线方向单位长度的电量分别为l1和l2。1求各区域内的场强分布；2假设l1-l2，情况如何？画出此情形下的E r的关系曲线。解：1作一半径为r、长为h的共轴圆柱面为高斯面，由高斯定理有，得 得 2时，7-11设半径为R的球体，电荷体密度r krrR，其中k为常量，r为距球心的距离。求电场分布，并画出E r的关系曲线。解：作一半径为r的同心球面为高斯面。根据高斯定理 即 得 即 得 7-12一厚度为d=0.5cm的无限大平板，均匀带电，电荷体密度r 1.010-4C/m3，求1平板内外的电场分布；2讨论平板中央以及平板内与其外表相距0.1cm处的电场强度。解：1设中心平面为S0。根据对称性，在距S0处为*处对称地取两面积均为的底面作一圆柱形高斯面，其侧面与板面垂直如下列图，即侧面的电通量为零。时 ， 时 ， 2平板中央 ， 平板内与外表相距0.1cm处，V/m7-13一个电荷体密度为r常量的球体。1证明球内距球心r处一点的电场强度为；2假设在球内挖去一个小球，如图7-13所示，证明小球空腔内的电场是匀强电场，式中是球心到空腔中心的距离矢量。OORO证：1作与球体同心的球面为高斯面，根据高斯定理 即 矢量式 得证2填充法：设在空腔中填充电荷密度分别为和-的电荷球体，形成电荷密度分别为和-的大球体和小球体。对腔内任一点P如图，由1的结果有大球 ； 小球 得证静电场的环路定理7-14假设电场中*一局部电场线的形状是以O点为中心的同心圆弧。证明该局部上各点的电场强度都应与该点离O点的距离成反比，即E1 r1 = E2 r2。Oqr1r2图7-14证：作一回路abcd，如图。根据静电场环路定理即 ， 得证7-15证明：在静电场中，凡电场线都是平行直线的地方，电场强度的大小必定处处相等。提示：利用环路定理和高斯定理证：设电场方向水平向右。在一电场线上任取两点1和2，作两底面足够小的圆柱面，如图。由高斯定理 即同一电场线上任意两点的电场强度相等。作一矩形回路abcd，其中ab、cd与电场线垂直，bc、da与电场线平行，即有由静电场环路定理 即不同电场线上任意两点的电场强度相等。所以命题成立。电场力的功和电势能7-16边长为a的正三角形, 三个顶点上各放置q，-q和-2q的点电荷，求此三角形重心上的电势。将一电量为+Q的点电荷由无限远处移到重心上，外力做功多少？解：顶点到重心的距离，重心的电势为 外力所做的功 图7-17Q1Q2OQ3dd7-17如图7-17所示，三个点电荷Q1、Q2、Q3沿一直线等距放置，且Q1=Q3=Q，其中任一点电荷所受合力均为零。求Q1、Q3固定情况下，1Q2在O点时的电势能；2将Q2从O点推到无穷远处，外力所做的功。解：1Q1和Q3在O点产生的电势为因为Q1所受合力为零，即 ，解得 ，Q2在O点的电势能 2将Q2从O点推到无穷远处，外力所做的功7-18一半径为R的无限长带电棒，其内部的电荷均匀分布，电荷体密度为r。1求电场分布；2如图7-18所示沿棒轴向俯视，假设点电荷q0由a点运动到b点，则电场力做功为多少？解：1取长为l、半径为r且与带电棒同轴的圆柱面为高斯面。由高斯定理Rr2r1ab图7-18 即 得 得 2半径一样处的电势相等电势7-19题7-18中，假设取棒的外表为零电势，求空间的电势分布。解：取棒外表为零电势，即时，时，7-20如图7-20所示，电荷面密度分别为 +s和 -s的两块无限大均匀带电平行平面，分别与*轴相交于*1= a和*2= -a两点。设坐标原点O处电势为零，求空间的电势分布。解：；：；：。*a-aO-s+s图7-20：7-21两根半径分别为R1=3.010-2m和R2=0.10m的长直同轴圆柱面，带有等量异号的电荷，两者的电势差为450V。求圆柱面单位长度上所带电荷l。解：由高斯定理可求得两柱面间的电场强度 ，解得 ROA图7-22BCDE7-22如图7-22所示的带电细棒，电荷线密度为l，其中BCD为半径为R的半圆，AB=DE=R，求1半圆上的电荷在半圆中心O处产生的电势；2直细棒AB和DE在半圆中心O处产生的电势；3O处的总电势。解：1取电荷元 ，2在AB上距O点为r处，取电荷元 。同理DE在点产生的电势37-23半径分别为R1和R2的两个同心球面，分别带有电荷q1和q2。求：1各区域电势分布，并画出分布曲线；2两球面间电势差；3假设R1=10cm、R2=30cm、q1=10-8C、q2=1.510-8C，离球心20cm和50 cm处的电势为多少？解：1由高斯定理可得电场分布为：； ：； ：。电势分布为： ：(2) (3) 即在两球面之间 即在两球面之外 电场强度与电势的关系7-24一电场的电势函数为U = 2*3+y，求电场强度。解：，或 7-25试计算半径为R、电荷线密度为的均匀带电细圆环轴线上的电势分布，并由电势分布求出轴线上的电场强度分布。解：在圆环上任取一线元，带电量为，在轴线上距圆环中心为点产生的电势为，. z.