一、 不等式及其性质【学习目标】1了解不等式的意义，认识不等式和等式都刻画了现实世界中的数量关系；2. 理解不等式的三条基本性质，并会简单应用；3理解并掌握一元一次不等式的概念及性质；【要点梳理】要点一、不等式的概念 一般地，用“”、 “”、“”或“”表示大小关系的式子，叫做不等式用“”表示不等关系的式子也是不等式要点诠释：(1)不等号“”或“”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大(2)五种不等号的读法及其意义：符号读法意义“”读作“不等于”它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小“”读作“小于”表示左边的量比右边的量小“”读作“大于”表示左边的量比右边的量大“”读作“小于或等于”即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量“”读作“大于或等于”即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量(3) 有些不等式中不含未知数，如34，-1-2；有些不等式中含有未知数，如2x5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立类型一、不等式的概念例1. 判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式（1）45；（2）x2+10；（3）x2x-5；（4）x=2x+3；（5）3a2+a；（6）a2+2a4a-2变式练习：1.（2017春城关区校级期末）贵阳市今年5月份的最高气温为27，最低气温为18，已知某一天的气温为t，则下面表示气温之间的不等关系正确的是（）A18t27B18t27C18t27D18t272.（2017春未央区校级月考）下列式子：a+b=b+a；-2-5；x-1；y-41；2mn；2x-3，其中不等式有（）A2个B3个C4个D5个3.（2017春南山区校级月考）下面给出了6个式子：30；x+3y0；x=3；x-1；x+23；2x0；其中不等式有（）A2个B3个C4个D5个4.（2017春太原期中）学校组织同学们春游，租用45座和30座两种型号的客车，若租用45座客车x辆，租用30座客车y辆，则不等式“45x+30y500”表示的实际意义是（）A两种客车总的载客量不少于500人B两种客车总的载客量不超过500人C两种客车总的载客量不足500人D两种客车总的载客量恰好等于500人5.已知有理数m，n的位置在数轴上如图所示，用不等号填空（1）n-m 0；（2）m+n 0；（3）m-n 0；（4）n+1 0；（5）mn 0；（6）m+1 0例2用不等式表示： (1)x与-3的和是负数； (2)x与5的和的28不大于-6;(3)m除以4的商加上3至多为5举一反三：【变式】的值一定是（ ）A. 大于零 B.小于零 C.不大于零 D. 不小于零 例3.下列叙述：a是非负数则a0；“a2减去10不大于2”可表示为a2-102；“x的倒数超过10”可表示为10；“a，b两数的平方和为正数”可表示为a2+b20其中正确的个数是（）.个 个 个 D. 4个要点二、一元一次不等式的概念 只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式要点诠释：(1)一元一次不等式满足的条件：左右两边都是整式(单项式或多项式)；只含有一个未知数；未知数的最高次数为1.(2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系：相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“”、“”、“”或“”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“”连接，等号没有方向例1.（2017春沧州期末）下列各式中，一元一次不等式是（）A. B2x1-x2 Cx+2y1 D2x+13x变式练习2 （2017春平川区校级期中）下列是一元一次不等式的是（） Bx2-21 C3x+2 D2x-23（2016春永丰县期中）若不等式2xa1是关于x的一元一次不等式，则a符合（）Aa1Ba=0Ca=1Da=24.若（m+1）x|m|+20是关于x的一元一次不等式，则m=（）A1B1C-1D05.下列不等式中，是一元一次不等式的有（）个x-3；xy1；x23；A1B2C3D4要点三、不等式的基本性质不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或整式)，不等号的方向不变用式子表示：如果ab，那么acbc.不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变用式子表示：如果ab，c0，那么acbc(或)不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变用式子表示：如果ab，c0，那么acbc(或)例1.判断以下各题的结论是否正确（对的打“”，错的打“”）（1）若 b3a0，则b3a； （2）如果5x20，那么x4； （3）若ab，则 ac2bc2； （4）若ac2bc2，则ab； （5）若ab，则 a（c2+1）b（c2+1） （6）若ab0，则 【答案与解析】解：（1）若由b3a0，移项即可得到b3a，故正确；（2）如果5x20，两边同除以5不等号方向改变，故错误； （3）若ab，当c=0时则 ac2bc2错误，故错误； （4）由ac2bc2得c20，故正确； （5）若ab，根据c2+1，则 a（c2+1）b（c2+1）正确 （6）若ab0，如a=2，b=1，则正确故答案为：、【总结升华】本题考查了不等式的性质，两边同乘以或除以一个不为零的负数，不等号方向改变例4.（2017青浦区一模）已知ab，下列关系式中一定正确的是（）Aa2b2 B2a2b Ca+2b+2 Dab【思路点拨】根据不等式的性质分析判断【答案】D.【解析】解：A，a2b2，错误，例如：21，则22（1）2；B、若ab，则2a2b，故本选项错误；C、若ab，则a+2b+2，故本选项错误；D、若ab，则ab，故本选项正确.【总结升华】不等式的性质是不等式变形的重要依据关键要注意不等号的方向性质1和性质2类似于等式的性质但性质3中，当不等式两边乘以或除以同一个负数时，不等号的方向要改变举一反三：【变式】根据不等式的基本性质，将“mx3”变形为“x”，则m的取值范围是 【答案】m0.解：将“mx3”变形为“x”，m的取值范围是m0故答案为：m0【巩固练习】一、选择题1. （2016春北京期末）在式子30，x2，x=a，x22x，x3，x+1y中，是不等式的有（）A2个 B3个 C4个 D5个2下列不等式表示正确的是( ). Aa不是负数表示为a0 Bx不大于5可表示为x5 Cx与1的和是非负数可表示为x+10 Dm与4的差是负数可表示为m-403.式子“x+y=1；xy；x+2y；x-y1；x0”属于不等式的有（） A2个 B3个 C4个 D5个4已知ab，则下列不等式一定成立的是( ) Aa+3b+3 B2a2b C-a-b Da-b0 5若图示的两架天平都保持平衡，则对a、b、c三种物体的重量判断正确的是（）.c c b c 6下列变形中，错误的是（ ）. A若3a+52，则3a2-5 B若，则 C若，则x-5 D若，则 二、填空题7（2016秋太仓市校级期末）如果ab，则3a 3b（用“”或“”填空）8用不等式表示“x与a的平方差不是正数”为 9在-l，0，2中，能使不等式5x3x+3成立的x的值是_；_是不等式-x0的解10假设ab，请用“”或“”填空(1)a-1_b-1； (2)2a_2b；(3)_； (4)a+l_b+111已知ab，且c0，用“”或“”填空 (1)2a_a+b (2)_ (3)c-a_c-b (4)-a|c|_-b|c|12. k的值大于-1且不大于3，则用不等式表示k的取值范围是_（使用形如axb的类似式子填空）三、解答题13现有不等式的性质：在不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变；在不等式的两边都乘以同一个数（或整式），乘的数（或整式）为正时不等号的方向不变，乘的数（或整式）为负时不等式的方向改变请解决以下两个问题：（1）利用性质比较2a与a的大小（a0）；（2）利用性质比较2a与a的大小（a0）14. 当a=3，b=5时用不等式表示a2+b2与2ab的大小是_；当a=-3，b=5时用不等式表示a2+b2与2ab的大小是_；当a=1，b=1时用不等式表示a2+b2与2ab的大小是_；根据上述数学实验你猜想a2+b2与2ab的大小关系_；用a、b的其他值检验你的猜想_15已知xy，比较下列各对数的大小 (1)8x-3和8y-3； (2)和； (3) x-2和y-1【答案与解析】一、选择题1. 【答案】C；【解析】解：30是不等式，x2是不等式，x=a是等式，x22x是代数式，x3是不等式，x+1y是不等式不等式共有4个故选C.2. 【答案】D； 【解析】a不是负数应表示为a0，故A错误； x不大于5应表示为x5，故B错误；x与1的和是非负数应表示为x+10，故C错误； m与4的差是负数应表示为m-40，故D正确。3.【答案】B.4.【答案】D； 【解析】从不等式ab入手，由不等式的性质1，不等式ab的两边都加上3后，不等号的方向不变，得a+3b+3，故选项A不成立；由不等式的性质2，不等式ab的两边都乘以2后，不等号的方向