第第十六十六章章 分析与综合分析与综合第一节第一节 分析与综合概述分析与综合概述1 1、分析的意义及其作用分析的意义及其作用 分析是人们认识事物的一种基本方法，分析是人们认识事物的一种基本方法，人们对客观事物的认识是从感觉开始的。人们对客观事物的认识是从感觉开始的。 感觉是客观事物的各种个别属性通过一感觉是客观事物的各种个别属性通过一定的感觉器官在人脑中的反映，经过人的定的感觉器官在人脑中的反映，经过人的大脑的组合，人获得清晰的客观事物的形大脑的组合，人获得清晰的客观事物的形象。这是感觉分析的过程，它奠定抽象分象。这是感觉分析的过程，它奠定抽象分析的基础。析的基础。 抽象分析则是将思维对象的整体分解为抽象分析则是将思维对象的整体分解为各个部分、各个方面、各个层次或各个环各个部分、各个方面、各个层次或各个环节、各种因素而分别加以考察的思维方法。节、各种因素而分别加以考察的思维方法。 人们通过分析将思维对象的各个方面分人们通过分析将思维对象的各个方面分解开来，然后一个一个地分别加以考察研解开来，然后一个一个地分别加以考察研究，才有可能深刻地认识事物，把握思维究，才有可能深刻地认识事物，把握思维对象。对象。【例】【例】人们对自然数的研究，当把它分解人们对自然数的研究，当把它分解为奇数和偶数、质数和合数等等，分别进为奇数和偶数、质数和合数等等，分别进行考察研究后，人们才获得了对自然数的行考察研究后，人们才获得了对自然数的更深刻的认识。更深刻的认识。【例】【例】解答应用题，可以从问题出发，根解答应用题，可以从问题出发，根据数量关系，找出要解决这个问题所需的据数量关系，找出要解决这个问题所需的条件，条件， 如果这些条件中的某个在应用题中并如果这些条件中的某个在应用题中并非已知，就把它作为新问题，找出要解决非已知，就把它作为新问题，找出要解决它的条件，这样逐次逆推，直到所需的条它的条件，这样逐次逆推，直到所需的条件都是已知条件，从而可以解答为止。件都是已知条件，从而可以解答为止。 这种分析方法广泛应用在数学问题的证这种分析方法广泛应用在数学问题的证明、解答、计算、作图中，是一种十分重明、解答、计算、作图中，是一种十分重要的解题方法。要的解题方法。2 2、综合的意义及其作用综合的意义及其作用在认识事物的过程中，还有一种与分析在认识事物的过程中，还有一种与分析完全相反的思维过程，它就是综合。完全相反的思维过程，它就是综合。综合是把通过分析所得到的思维对象的综合是把通过分析所得到的思维对象的各个部分、各个方面、各个层次、各种因各个部分、各个方面、各个层次、各种因素的认识联结起来，以形成一个统一的整素的认识联结起来，以形成一个统一的整体认识。体认识。 人们通过感觉分析所感知的事物的各种人们通过感觉分析所感知的事物的各种属性，经过大脑的整合而产生的知觉也是属性，经过大脑的整合而产生的知觉也是一种综合，它是人对作用于感官的客观事一种综合，它是人对作用于感官的客观事物的各种属性的整体反映，它所得到的对物的各种属性的整体反映，它所得到的对象的完整形象只是人对事物的感性认识。象的完整形象只是人对事物的感性认识。然而只有通过思维过程的理性分析，和然而只有通过思维过程的理性分析，和在分析基础上的抽象的综合，人们才能真在分析基础上的抽象的综合，人们才能真正地把握思维对象，达到对事物整体的深正地把握思维对象，达到对事物整体的深刻的理性认识。刻的理性认识。【例】【例】通过综合通过综合，把对自然数、零、分数、把对自然数、零、分数、负数的认识提高到对有理数的认识；把对负数的认识提高到对有理数的认识；把对有理数、无理数的认识提高到对实数的认有理数、无理数的认识提高到对实数的认识等，使人们对数的本质的认识不断地深识等，使人们对数的本质的认识不断地深化。化。可见，综合的主要作用就是把部分统一可见，综合的主要作用就是把部分统一为整体，把片面概括为全面，把个别上升为整体，把片面概括为全面，把个别上升为一般，为一般， 综合的目的就是要把通过分析所得到的综合的目的就是要把通过分析所得到的思维对象的各种认识组成一个统一的有机思维对象的各种认识组成一个统一的有机的整体，以求在总体上把握事物，达到对的整体，以求在总体上把握事物，达到对事物本质及其规律性的更深刻认识。事物本质及其规律性的更深刻认识。在科学研究在科学研究( (包括数学研究包括数学研究) )中，与分析中，与分析相反，综合则被看成是从原因推导到它所相反，综合则被看成是从原因推导到它所产生的结果的另一种思维方法。产生的结果的另一种思维方法。【例】【例】解答应用题，就要从已知条件出发，解答应用题，就要从已知条件出发，根据数量关系，推出由这些条件所能去求根据数量关系，推出由这些条件所能去求得的结果，再把这些结果作为已知条件，得的结果，再把这些结果作为已知条件，与原来的条件合在一起，推出新的结果，与原来的条件合在一起，推出新的结果，这这样样逐次推断，一直推到题目所要求的答逐次推断，一直推到题目所要求的答案。案。 综合法同样广泛地应用在数学问题的证综合法同样广泛地应用在数学问题的证明、解答、计算、作图中，也是十分重要明、解答、计算、作图中，也是十分重要的解题方法。的解题方法。3 3、分析与综合的辩证关系分析与综合的辩证关系分析只有在其出发点是某种综合体分析只有在其出发点是某种综合体( (即未即未加分解的整体加分解的整体) )的条件下才能进行；的条件下才能进行；同样的，综合也只有当其出发点是某种同样的，综合也只有当其出发点是某种被分解成各个部分或各个方面的整体时才被分解成各个部分或各个方面的整体时才 能进行。能进行。 可见，分析与综合是互为存在的条件，可见，分析与综合是互为存在的条件，综合必须以分析为基础，没有分析就没有综合必须以分析为基础，没有分析就没有综合综合只有分析才能提供研究对象的各个部分只有分析才能提供研究对象的各个部分的知识，使探求对象各个部分的相互联系的知识，使探求对象各个部分的相互联系以形成一种新的更深层次的整体性认识的以形成一种新的更深层次的整体性认识的综合成为可能；综合成为可能； 同样地，分析必须依赖于综合，任何分同样地，分析必须依赖于综合，任何分析总要在综合知识的指导下，从某一整体析总要在综合知识的指导下，从某一整体性的原则出发，才能避免盲目性，对研究性的原则出发，才能避免盲目性，对研究对象的各个部分或各个方面进行正确的分对象的各个部分或各个方面进行正确的分 析。析。另一方面，分析与综合的辩证关系还在另一方面，分析与综合的辩证关系还在于它们在一定条件下的互相转化。于它们在一定条件下的互相转化。在认识的发展过程中，当思维经过分析在认识的发展过程中，当思维经过分析得到整体的各方面和各部分的知识，需要得到整体的各方面和各部分的知识，需要在更高的层次上把握事物的整体时，思维在更高的层次上把握事物的整体时，思维活动就由分析转化为综合；活动就由分析转化为综合； 而当思维经过综合，使对事物整体的认而当思维经过综合，使对事物整体的认识进入一个新的境界，又为进一步的分析识进入一个新的境界，又为进一步的分析提供了新的要求和可能，思维活动又由综提供了新的要求和可能，思维活动又由综合转化为分析。合转化为分析。由分析转向综合，又由综合转向分析，由分析转向综合，又由综合转向分析，这样循环往复，是人类认识发展，建立科这样循环往复，是人类认识发展，建立科学理论体系的辩证过程。学理论体系的辩证过程。【例】【例】人们对数的本质的认识人们对数的本质的认识，以及，以及整个整个数学理论体系建立的过程，就是这样一种数学理论体系建立的过程，就是这样一种由分析到综合、又由综合到分析的辩证发由分析到综合、又由综合到分析的辩证发展过程。展过程。需要注意的是，在具体研究中，分析总需要注意的是，在具体研究中，分析总为一定的感性材料所制约，而人类在一定为一定的感性材料所制约，而人类在一定历史时期的经验材料总有它的局限性，由历史时期的经验材料总有它的局限性，由此所作的分析，必然有它一定的局限；此所作的分析，必然有它一定的局限；另外，分析着眼于局部的研究，把本来另外，分析着眼于局部的研究，把本来相互联系的东西暂时割裂开来，这就可能相互联系的东西暂时割裂开来，这就可能将人的眼光限制在狭隘的领域里，造成一将人的眼光限制在狭隘的领域里，造成一种孤立、片面看问题的习惯。种孤立、片面看问题的习惯。 因此，我们要把握分析与综合的辩证关因此，我们要把握分析与综合的辩证关系，注意用综合的思维克服分析的局限。系，注意用综合的思维克服分析的局限。4 4、分析与综合的分析与综合的应用应用 运用分析综合的方法运用分析综合的方法进行学习进行学习【例】【例】“多项式的竖式除法多项式的竖式除法”的自学。的自学。 首先，找准知识连接点，揭示矛盾，建首先，找准知识连接点，揭示矛盾，建立有余的概念。要从数的竖式除法入手，立有余的概念。要从数的竖式除法入手，在动手操作中发现问题、分析问题、解决在动手操作中发现问题、分析问题、解决问题。问题。 先列出有余数的两数相除，最好被除先列出有余数的两数相除，最好被除数为五位以上，除数三位为好，列竖式进数为五位以上，除数三位为好，列竖式进行相除如下：行相除如下：左边是熟悉的对左边是熟悉的对45060103的竖式除法。将它推的竖式除法。将它推广探索多项式的竖式除法之前，先分析其各步骤：广探索多项式的竖式除法之前，先分析其各步骤：被除数和除数均从左向右、高位到低位排列，被除数和除数均从左向右、高位到低位排列，被除数在除号内，除数在除号左边，被除数在除号内，除数在除号左边，0不可不写；不可不写； 从高位起，按除数的位数对被除数分段进行试从高位起，按除数的位数对被除数分段进行试商，不足除数一倍的被除数段往右多取一个数位；商，不足除数一倍的被除数段往右多取一个数位；商数写在除式上方，与被除数段的末位对齐；商数写在除式上方，与被除数段的末位对齐；试商与除数的积对齐写在被除数段的下方；试商与除数的积对齐写在被除数段的下方；被除数减去积的结果写在横线下方，与未除部分一起成被除数减去积的结果写在横线下方，与未除部分一起成为新的被除数；为新的被除数；递次进行，直至余数不足除为止。递次进行，直至余数不足除为止。左边是探索的对左边是探索的对(x3+7x-5)(2x+3)的竖式除法。探索之前，先迁移分的竖式除法。探索之前，先迁移分析数的竖式除法各步骤：析数的竖式除法各步骤： 被除式和除式均从左向右、高被除式和除式均从左向右、高次到低次排列，被除式在除号内，次到低次排列，被除式在除号内，除式在除号左边，缺项不可不写；除式在除号左边，缺项不可不写； 从高次项起，按除式的位数对从高次项起，按除式的位数对被除式分段进行试商，不足除式一被除式分段进行试商，不足除式一倍次数的被除式段往右多取一个次倍次数的被除式段往右多取一个次位；位； 商式写在除式上方，与被除式商式写在除式上方，与被除式段的末位对齐；段的末位对齐；试商与除式的积式对齐写在被除式段的下方；试商与除式的积式对齐写在被除式段的下方；被除式减去积式的结果写在横线下方，与未除部分一起被除式减去积式的结果写在横线下方，与未除部分一起成为新的被除式；成为新的被除式；递次进行，直至余式不足除为止。递次进行，直至余式不足除为止。基本方法掌握之后，还可以进一步用竖式基本方法掌握之后，还可以进一步用竖式除法练习：除法练习：(x5-x3+7x-5)(x2+3)，(x5-x3+7x-5)(2x2+3)，等等。，等等。 上述自学过程各个环节的实施，体现了分析上述自学过程各个环节的实施，体现了分析与综合统一于相互转化上。教学过程中从现象到与综合统一于相互转化上。教学过程中从现象到本质是以分析为主的，一旦达到了对事物本质的本质是以分析为主的，一旦达到了对事物本质的认识，就要用这个本质说明原来的现象，揭示规认识，就要用这个本质说明原来的现象，揭示规律的过程就以综合为主。律的过程就以综合为主。 随着认识的发展，还可以设置一个障碍进行随着认识的发展，还可以设置一个障碍进行思