2011/9/316 线性方程组线性方程组解线性方程组常用的三个方法：解线性方程组常用的三个方法：1）Crammer 法则；法则；2）消元法；）消元法；3）利用矩阵的秩讨论线性方程组的解的情况。）利用矩阵的秩讨论线性方程组的解的情况。秩是求解线性方程组的核心概念！秩是求解线性方程组的核心概念！2011/9/32一、一、利用矩阵的秩讨论利用矩阵的秩讨论线性方程组线性方程组设线性方程组设线性方程组11112211211222221122mmmmnnnmmna xa xaxba xa xaxba xa xaxb 即：即：11n mmnAXB 我们已介绍过消元法解线性方程组实质是，我们已介绍过消元法解线性方程组实质是，用行初等变换化线性方程组的增广矩阵为阶梯形用行初等变换化线性方程组的增广矩阵为阶梯形同解的线性方程组。同解的线性方程组。矩阵，因为行等价的矩阵对应的线性方程组是矩阵，因为行等价的矩阵对应的线性方程组是2011/9/33阶梯矩阵为：阶梯矩阵为：11121112222210000000000000000rmrmrrrmrrccccdcccdccdd 1）若）若10,rd 意味着意味着( )( )r Ar A 则方程组无解；则方程组无解；2011/9/342）若）若10,rd 且且( ).r Am 即即( )( )r Ar Am方程组未知个数方程组未知个数A若干初等若干初等行行变换变换阶梯形矩阵阶梯形矩阵再经有限次的再经有限次的初等初等行行变换变换1210001000100000000mddd 则方程组有唯一解则方程组有唯一解1122mmxdxdxd 写成矩阵形式写成矩阵形式12mxxx12mddd 2011/9/35且且( ).r Am 即即( )( )r Ar AmA经有限次的经有限次的初等初等行行变换变换111121221100010001000000rmrmrrrmmccdccdccd 有有r 个独立未知量，个独立未知量，r 个独立方程，个独立方程，则此方程组有无穷多组解。则此方程组有无穷多组解。10,rd 3）若）若方程组未知个数方程组未知个数m-r 个自由未知量。个自由未知量。2011/9/36对应的线性方程组对应的线性方程组11111122112211rrmmrrmmrrrrrmmrxcxcxdxcxcxdxcxcxd 移项后得：移项后得：11111122112211rrmmrrmmrrrrrmmrxcxcxdxcxcxdxcxcxd 自由未知量的个数自由未知量的个数 m-r (A) 个个若令若令11,rxk 22,rxk ,mm rxk 2011/9/37得：得：111111221122111122rmm rrmm rrrrrmm rrrrmm rxckckdxckckdxckc kdxkxkxk 12,m rkkk 为任意常数。为任意常数。2011/9/38定理：定理：对一般的对一般的m 元非齐次线性方程组元非齐次线性方程组11n mmnAXB 1）当当时，时，( )( )r Ar A 方程组无解；方程组无解；2）当当（未知量个数）时，（未知量个数）时，( )( )r Ar Am方程组有唯一解；方程组有唯一解；3）当当（未知量个数）时，（未知量个数）时，( )( )r Ar Am方程组有无穷多组解。方程组有无穷多组解。2011/9/39相应的齐次线性方程组相应的齐次线性方程组111122121122221122000mmmmnnnmma xa xaxa xa xaxa xa xax 即：即：10n mmAX 总是有解的，总是有解的，120(0)mxxxX所以，齐次线性方程组只有两种情况所以，齐次线性方程组只有两种情况1）当当（未知量个数）时，（未知量个数）时，( )r Arm方程组有唯一零解；方程组有唯一零解；2）当）当（未知量个数）时，（未知量个数）时，( )r Arm方程组有无穷多组非零解。方程组有无穷多组非零解。r 个独立方程，个独立方程，m-r 个自由未知量。个自由未知量。此时，齐次线性方程组有此时，齐次线性方程组有r 个独立未知量，个独立未知量，2011/9/310定理：定理：对一般的对一般的m 元齐次线性方程组元齐次线性方程组10n mmAX （未知量个数）（未知量个数）( )r Arm方程组有非零解方程组有非零解方程组只有零解方程组只有零解( )r Arm（未知量个数）（未知量个数）推论推论1如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组 AX = 0 的方程个数的方程个数n m未知量个数未知量个数则方程组必有非零解。则方程组必有非零解。推论推论2有非零解有非零解0,A0.An个方程个方程n 个未知量的个未知量的齐次线性方程组齐次线性方程组只有零解只有零解2011/9/311二、线性方程组解的结构二、线性方程组解的结构（一）先讨论齐次线性方程组（一）先讨论齐次线性方程组性质性质10AX 的解具有以下性质：的解具有以下性质：如果如果是是AX = 0 的两个解向量，的两个解向量，(1)(2),mxxR 则则也是也是AX = 0 的的解。解。(1)(2)xx 性质性质2则则也是也是 AX = 0 的解。的解。( ) jx 如果如果是是AX = 0 解向量，解向量， 是数，是数，( ) jmxR 齐次线性方程组的解的两个性质齐次线性方程组的解的两个性质说明说明：如果如果是是AX = 0 的解的解(1)(2)(),pmxxxR 向量，则它们的线性组合向量，则它们的线性组合(1)(2)()12ppxxx1,pR 仍是仍是 AX = 0 的解向量。的解向量。2011/9/312定义定义 若向量组若向量组满足满足 ( )1pjjx 1）每个向量）每个向量都是都是 AX = 0的解，的解，( ) jx2）向量组中所有向量线性无关，）向量组中所有向量线性无关，3）AX = 0 的任意一个解都能够用的任意一个解都能够用线性表示线性表示 ( )1pjjx 则称则称为该齐次线性方程组为该齐次线性方程组AX = 0 的一个的一个 ( )1pjjx 基础解系基础解系，称称（是任意常数）为是任意常数）为( )1pjjjx j 该齐次线性方程组该齐次线性方程组 AX = 0 的的通解通解。2011/9/313定理定理1 设设n mAR ( )r Arm未知量个数未知量个数那么齐次线性方程组那么齐次线性方程组AX = 0 的每个的每个基础解系中基础解系中恰有恰有m-r 个解个解，(1)(2)(),m rxxx ( )1pjjjxx (1,)jjmr 为常数。为常数。证：证：0AX ( )r Arm则方程组必有非零解，则方程组必有非零解，对系数矩阵对系数矩阵A 施以有限次初等行变换化成施以有限次初等行变换化成标准形矩阵标准形矩阵而且该方程组的任意一个解而且该方程组的任意一个解x 都可以表示为都可以表示为2011/9/314其同解的线性方程组为其同解的线性方程组为111112211211000rm rmrm rmrrrrm rmxb xbxxb xbxxb xbx 1,rmxx 其中其中是是m-r 个自由未知量，取个自由未知量，取得：得：11,rxk 22,rxk ,mm rxk 1112121100010001000000m rm rrrm rbbbbbb 00rIB 标准形标准形2011/9/315写成向量写成向量的形式：的形式：121rrmxxxxx 1111100rbbk 1222010rbbk 1001m rrm rm rbbk 1111122112111122m rm rm rm rrrrm rm rrrmm rxb kbkxb kbkxb kbkxkxkxk 1(,)m rkkR 2011/9/316即即121rrmxxxXxx 111(1)100rbbx 122(2)010rbbx 1()001m rrm rm rbbx 所以，齐次线性方程组的通解为：所以，齐次线性方程组的通解为：(1)(2)()12m rm rxxxx 1(,)m rR (1)(2)(),m rxxx 就是就是AX=0 的一个的一个基础解系基础解系。( )1m rjjjxx 其解其解是是AX=0 的通解，包含了其全部解。的通解，包含了其全部解。满足定义的三条件满足定义的三条件mrBI 的的列向量列向量2011/9/317例例1、求齐次线性方程组一个基础解系，并求其通解。、求齐次线性方程组一个基础解系，并求其通解。12451234512345123453020426502424160 xxxxxxxxxxxxxxxxxxx 2011/9/318求齐次线性方程组求齐次线性方程组 AnmXm1=0 的通解的方法：的通解的方法：10先求解基础解系，在求其通解（一般解）先求解基础解系，在求其通解（一般解） 对方程组系数矩阵对方程组系数矩阵A 作初等行变换化为标准形矩阵作初等行变换化为标准形矩阵00rIB必要时交换列的位置，此时变量也要相应交换必要时交换列的位置，此时变量也要相应交换当当 r m 时，方程组有非零解；时，方程组有非零解；当当 r = m 时，方程组只有零解。时，方程组只有零解。由标准由标准形矩阵求出齐次线性方程组的一个基础解系形矩阵求出齐次线性方程组的一个基础解系m rBI 即即的列向量；的列向量；按按齐次线性方程组解的结构写出其通解：齐次线性方程组解的结构写出其通解：( )1m rjjjxx 2011/9/31920先求一般解，再从中找出基础解系，先求一般解，再从中找出基础解系，对方程组系数矩阵对方程组系数矩阵A 作初等行变换化为标准形矩阵作初等行变换化为标准形矩阵00rIB必要时交换列的位置，此时变量也要相应交换必要时交换列的位置，此时变量也要相应交换当当 r m 时，方程组有非零解；时，方程组有非零解；当当 r = m 时，方程组只有零解。时，方程组只有零解。由标准由标准形矩阵直接写出方程组一般解（向量形式）形矩阵直接写出方程组一般解（向量形式）从中找出其基础解系，写出其通解。从中找出其基础解系，写出其通解。2011/9/320（二）非齐次线性方程组（二）非齐次线性方程组AX = B 的解具有以下性质：的解具有以下性质：性质性质3 如果如果是是 AX = B 的两个解，的两个解，(1)(2),xx则则是其对应齐次线性方程组是其对应齐次线性方程组AX = 0 的解的解(1)(2)xx 性质性质4则则仍是仍是AX = B 的解。的解。( )*jxx 如果如果是是AX = B 的解，的解，*x由性质由性质3可知：可知：则当则当r m 任一任一解解x 总可表示为总可表示为*()xxxx*( ) jxx再由性质再由性质4可知：可知：*( ) jxxx也就取遍了也就取遍了AX = B 的全部解（即通解）的全部解（即通解）. .( ) jx对应对应AX = 0 的解，的解，( ) jx当当取遍其取遍其AX = 0 的全部解的全部解如果如果是是AX = B 的解，的解，*x（即通解）时，（即通解）时，2011/9/321定理定理2 设设是是AX = B 的一个解（特解）的一个解（特解）0 x当当( )( )r Ar Arm对对 AX = B 有无穷多组解，有无穷多组解，对对AX = 0 有非零解，有非零解，(1)(2)(),m rxxx 是相应是相应AX = 0 的一个基础解系的一个基础解系(1)(2)()120m rm rxxxxx 则则( )01m rjjjxx 是是 AX = B 的通解。的通解。由定理由定理2 及求齐次线性方程组的基础进解系和及求齐次线性方程组的基础进解系和通解的方法，可得到求通解的方法，可得到求AnmXm1=B 的通解方法的通解方法：2011/9/322 对方程组的对方程组的作初等行变换化为标准形矩阵作初等行变换化为标准形矩阵A00*rIBb由标准由标准形矩阵求出方程组的特解形矩阵求出方程组的特解 x0 及对应齐次线性及对应齐次线性具体如下：具体如下：）如果标准形矩阵中的元素不全为零，）如果标准形矩阵中的元素不全为零，）如